Номер 15.9, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.9. Запишите пять первых членов геометрической прогрессии, у которой третий член равен -8, а пятый равен -332.

Пусть $b_n$ — n-й член геометрической прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи, нам даны третий и пятый члены прогрессии:
$b_3 = -8$
$b_5 = -332$

Связь между любыми двумя членами геометрической прогрессии определяется формулой $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$. Применим эту формулу для $b_5$ и $b_3$, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$.
$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$

Подставим известные значения в формулу:
$-332 = -8 \cdot q^2$

Теперь решим это уравнение относительно $q^2$:
$q^2 = \frac{-332}{-8} = \frac{332}{8} = 41.5$

Из этого уравнения следует, что для знаменателя $q$ есть два возможных значения: $q_1 = \sqrt{41.5}$ и $q_2 = -\sqrt{41.5}$. Следовательно, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Далее найдем первый член прогрессии $b_1$, используя формулу $b_3 = b_1 \cdot q^2$. Так как в эту формулу входит $q^2$, значение $b_1$ будет одинаковым для обоих случаев.
$-8 = b_1 \cdot 41.5$
$b_1 = \frac{-8}{41.5} = \frac{-8}{83/2} = -\frac{16}{83}$

Теперь мы можем найти первые пять членов для каждой из двух возможных прогрессий.

Случай 1: $q = \sqrt{41.5}$
$b_1 = -\frac{16}{83}$
$b_2 = b_1 \cdot q = -\frac{16}{83} \sqrt{41.5}$
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = -\frac{16}{83} \cdot 41.5 = -8$
$b_4 = b_3 \cdot q = -8 \sqrt{41.5}$
$b_5 = b_3 \cdot q^2 = -8 \cdot 41.5 = -332$
Первые пять членов этой прогрессии: $-\frac{16}{83}; -\frac{16}{83}\sqrt{41.5}; -8; -8\sqrt{41.5}; -332$.

Случай 2: $q = -\sqrt{41.5}$
$b_1 = -\frac{16}{83}$
$b_2 = b_1 \cdot q = -\frac{16}{83} \cdot (-\sqrt{41.5}) = \frac{16}{83}\sqrt{41.5}$
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = -\frac{16}{83} \cdot 41.5 = -8$
$b_4 = b_3 \cdot q = -8 \cdot (-\sqrt{41.5}) = 8\sqrt{41.5}$
$b_5 = b_3 \cdot q^2 = -8 \cdot 41.5 = -332$
Первые пять членов этой прогрессии: $-\frac{16}{83}; \frac{16}{83}\sqrt{41.5}; -8; 8\sqrt{41.5}; -332$.

Ответ: Существуют две прогрессии, удовлетворяющие заданным условиям. Их первые пять членов:
1) $-\frac{16}{83}; -\frac{16\sqrt{41.5}}{83}; -8; -8\sqrt{41.5}; -332$
2) $-\frac{16}{83}; \frac{16\sqrt{41.5}}{83}; -8; 8\sqrt{41.5}; -332$