Номер 15.5, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.5. В геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите:

1) $b_7$, если $b_1 = 3\sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$;

2) $b_5$, если $b_1 = -2\sqrt{3}$, $q = \sqrt{3}$;

3) $b_6$, если $b_1 = \sqrt{2}$, $q = -\frac{1}{\sqrt{2}}$;

4) $b_3$, если $b_1 = 1-\sqrt{2}$, $q = 1+\sqrt{2}$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$): $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

1) Найдём $b_7$, если $b_1 = 3\sqrt{2}$ и $q = -\sqrt{2}$.
Подставляем значения в формулу: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6 = 3\sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^6$.
Поскольку показатель степени (6) — чётное число, то $(-\sqrt{2})^6 = (\sqrt{2})^6 = ((\sqrt{2})^2)^3 = 2^3 = 8$.
Следовательно, $b_7 = 3\sqrt{2} \cdot 8 = 24\sqrt{2}$.
Ответ: $24\sqrt{2}$.

2) Найдём $b_5$, если $b_1 = -2\sqrt{3}$ и $q = \sqrt{3}$.
Подставляем значения в формулу: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = -2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^4$.
Вычисляем степень: $(\sqrt{3})^4 = ((\sqrt{3})^2)^2 = 3^2 = 9$.
Следовательно, $b_5 = -2\sqrt{3} \cdot 9 = -18\sqrt{3}$.
Ответ: $-18\sqrt{3}$.

3) Найдём $b_6$, если $b_1 = \sqrt{2}$ и $q = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставляем значения в формулу: $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})^5$.
Поскольку показатель степени (5) — нечётное число, знак минус сохраняется: $(-\frac{1}{\sqrt{2}})^5 = - \frac{1^5}{(\sqrt{2})^5} = - \frac{1}{(\sqrt{2})^4 \cdot \sqrt{2}} = - \frac{1}{4\sqrt{2}}$.
Следовательно, $b_6 = \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{4\sqrt{2}}) = -\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

4) Найдём $b_3$, если $b_1 = 1 - \sqrt{2}$ и $q = 1 + \sqrt{2}$.
Подставляем значения в формулу: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = (1 - \sqrt{2}) \cdot (1 + \sqrt{2})^2$.
Для упрощения вычислений, представим $q^2$ как $(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$. Тогда $b_3 = (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})$.
Произведение первых двух множителей является разностью квадратов: $(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$.
Следовательно, $b_3 = -1 \cdot (1 + \sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}$.
Ответ: $-1 - \sqrt{2}$.