Номер 15.3, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.3. Задана геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите:

1) $b_1$, если $b_3 = 18$, $q = \frac{1}{3}$;

2) $b_1$, если $b_6 = 64$, $q = \frac{1}{4}$;

3) $b_1$, если $b_8 = 16$, $q = -\frac{1}{2}$;

4) $b_1$, если $b_7 = 375$, $q = -\frac{1}{5}$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — номер члена.
Чтобы найти первый член $b_1$, зная n-й член $b_n$ и знаменатель $q$, выразим $b_1$ из этой формулы:
$b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$

1) $b_1$, если $b_3 = 18, q = \frac{1}{3}$;
В данном случае $n=3$, $b_3 = 18$ и $q = \frac{1}{3}$. Подставим эти значения в формулу:
$b_1 = \frac{b_3}{q^{3-1}} = \frac{18}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{18}{\frac{1}{9}}$
$b_1 = 18 \cdot 9 = 162$
Ответ: $162$.

2) $b_1$, если $b_6 = 64, q = \frac{1}{4}$;
Здесь $n=6$, $b_6 = 64$ и $q = \frac{1}{4}$. Подставляем в формулу:
$b_1 = \frac{b_6}{q^{6-1}} = \frac{64}{\left(\frac{1}{4}\right)^5} = \frac{64}{\frac{1}{4^5}}$
$b_1 = 64 \cdot 4^5$
Поскольку $64 = 4^3$, получаем:
$b_1 = 4^3 \cdot 4^5 = 4^{3+5} = 4^8 = 65536$
Ответ: $65536$.

3) $b_1$, если $b_8 = 16, q = -\frac{1}{2}$;
Здесь $n=8$, $b_8 = 16$ и $q = -\frac{1}{2}$. Подставляем в формулу:
$b_1 = \frac{b_8}{q^{8-1}} = \frac{16}{\left(-\frac{1}{2}\right)^7}$
Так как показатель степени (7) нечетный, то $\left(-\frac{1}{2}\right)^7 = -\frac{1}{2^7} = -\frac{1}{128}$.
$b_1 = \frac{16}{-\frac{1}{128}} = 16 \cdot (-128) = -2048$
Ответ: $-2048$.

4) $b_1$, если $b_7 = 375, q = -\frac{1}{5}$.
Здесь $n=7$, $b_7 = 375$ и $q = -\frac{1}{5}$. Подставляем в формулу:
$b_1 = \frac{b_7}{q^{7-1}} = \frac{375}{\left(-\frac{1}{5}\right)^6}$
Так как показатель степени (6) четный, то $\left(-\frac{1}{5}\right)^6 = \frac{1}{5^6}$.
$b_1 = \frac{375}{\frac{1}{5^6}} = 375 \cdot 5^6$
Разложим $375$ на множители: $375 = 3 \cdot 125 = 3 \cdot 5^3$.
$b_1 = (3 \cdot 5^3) \cdot 5^6 = 3 \cdot 5^{3+6} = 3 \cdot 5^9 = 3 \cdot 1953125 = 5859375$
Ответ: $5859375$.