Номер 14.31, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.31. Решите способом подстановки систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 - xy + 8 = -y, \\ y - 2x = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = 1, \\ 3y + x = 0. \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - xy + 8 = -y, \\ y - 2x = 0. \end{cases} $

Для решения системы методом подстановки выразим из второго, более простого, уравнения переменную $y$ через $x$:
$y - 2x = 0 \implies y = 2x$.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 - x(2x) + 8 = -(2x)$.

Упростим уравнение и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 2x^2 + 8 = -2x$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
$x^2 - 2x - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$, используя подстановку $y = 2x$:
Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2 \cdot 4 = 8$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.
Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(4; 8), (-2; -4)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 = 1, \\ 3y + x = 0. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:
$3y + x = 0 \implies x = -3y$.

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$(-3y)^2 + 3(-3y)y + y^2 = 1$.

Упростим уравнение:
$9y^2 - 9y^2 + y^2 = 1$
$y^2 = 1$.

Решим это уравнение относительно $y$:
$y_1 = 1$,
$y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$, подставив найденные $y$ в выражение $x = -3y$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -3 \cdot 1 = -3$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.
Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-3; 1), (3; -1)$.