Номер 14.29, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.29. Решите уравнение:

1) $\frac{x}{x-3} - \frac{18}{x^2-9} = \frac{5}{x+3};$

2) $\frac{3x}{x+4} + \frac{17}{x-4} = \frac{70}{x^2-16}.$

1) $\frac{x}{x-3} - \frac{18}{x^2 - 9} = \frac{5}{x+3}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Теперь приведем все члены уравнения к общему знаменателю $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

$\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{18}{(x-3)(x+3)} = \frac{5(x-3)}{(x+3)(x-3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x+3)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):

$x(x+3) - 18 = 5(x-3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + 3x - 18 = 5x - 15$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 5x - 18 + 15 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1.

2) $\frac{3x}{x+4} + \frac{17}{x-4} = \frac{70}{x^2 - 16}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$

$x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$.

ОДЗ: $x \neq \pm 4$.

Общий знаменатель для всех дробей - $(x+4)(x-4)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая ОДЗ:

$3x(x-4) + 17(x+4) = 70$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 12x + 17x + 68 = 70$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$3x^2 + 5x + 68 - 70 = 0$

$3x^2 + 5x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Оба корня, $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -2$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 4$).

Ответ: -2; $\frac{1}{3}$.