Номер 14.32, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.32. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 $см^2$. Если длину одного из его катетов увеличить на 2 см, а другого уменьшить на 1 см, то площадь прямоугольника станет равной 50 $см^2$. Найдите длины катетов данного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны $a$ см и $b$ см. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$.

Согласно условию задачи, первоначальная площадь треугольника равна 44 см². Составим первое уравнение:

$\frac{1}{2}ab = 44$

$ab = 88$

Далее, длину одного катета увеличили на 2 см, а другого уменьшили на 1 см. Пусть новые длины катетов будут $(a+2)$ см и $(b-1)$ см. Новая площадь стала равна 50 см². Составим второе уравнение:

$\frac{1}{2}(a+2)(b-1) = 50$

$(a+2)(b-1) = 100$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} ab = 88 \\ (a+2)(b-1) = 100 \end{cases}$

Выразим $b$ из первого уравнения: $b = \frac{88}{a}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(a+2)(\frac{88}{a}-1) = 100$

Раскроем скобки:

$a \cdot \frac{88}{a} - a \cdot 1 + 2 \cdot \frac{88}{a} - 2 \cdot 1 = 100$

$88 - a + \frac{176}{a} - 2 = 100$

$86 - a + \frac{176}{a} = 100$

Умножим обе части уравнения на $a$ (при условии, что $a \neq 0$, что верно, так как $a$ - длина катета):

$86a - a^2 + 176 = 100a$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$a^2 + 100a - 86a - 176 = 0$

$a^2 + 14a - 176 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-176) = 196 + 704 = 900$

Найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-14 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 30}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$a_2 = \frac{-14 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 30}{2} = \frac{-44}{2} = -22$

Так как длина катета не может быть отрицательной, корень $a_2 = -22$ не подходит. Следовательно, длина одного катета равна 8 см.

Теперь найдем длину второго катета $b$:

$b = \frac{88}{a} = \frac{88}{8} = 11$

Таким образом, длины катетов исходного треугольника равны 8 см и 11 см.

Проверка: первоначальная площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 11 = 44$ см². Новые катеты $8+2=10$ см и $11-1=10$ см. Новая площадь $S_{нов} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см². Условия задачи выполнены.

Ответ: длины катетов данного треугольника равны 8 см и 11 см.