Номер 14.28, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.28. Постройте на одной координатной плоскости графики функций и запишите приближенные значения координат их точек пересечения:

1) $y = 2x^2 + 3x - 1$ и $y = -x^2 + 4x - 2$;

2) $y = 3x^2 + 4x + 1$ и $y = -2x^2 + x + 3$.

1) $y = 2x^2 + 3x - 1$ и $y = -x^2 + 4x - 2$

Для построения графиков данных функций проанализируем каждую из них.

Первая функция $y = 2x^2 + 3x - 1$ — это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -b / (2a) = -3 / (2 \cdot 2) = -0.75$.
$y_v = 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) - 1 = 2(0.5625) - 2.25 - 1 = 1.125 - 2.25 - 1 = -2.125$.
Вершина находится в точке $(-0.75; -2.125)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = 0$, $y = -1$.
При $x = 1$, $y = 2(1)^2 + 3(1) - 1 = 4$.
При $x = -1$, $y = 2(-1)^2 + 3(-1) - 1 = -2$.
При $x = -2$, $y = 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 = 1$.

Вторая функция $y = -x^2 + 4x - 2$ — также квадратичная, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:
$x_v = -b / (2a) = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$.
$y_v = -(2)^2 + 4(2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$.
Вершина находится в точке $(2; 2)$.
Найдем несколько точек для построения графика:
При $x = 0$, $y = -2$.
При $x = 1$, $y = -(1)^2 + 4(1) - 2 = 1$.
При $x = 3$, $y = -(3)^2 + 4(3) - 2 = 1$.
При $x = 4$, $y = -(4)^2 + 4(4) - 2 = -2$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости:

Для нахождения точек пересечения графиков нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 + 3x - 1 \\ y = -x^2 + 4x - 2 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 + 3x - 1 = -x^2 + 4x - 2$
$2x^2 + x^2 + 3x - 4x - 1 + 2 = 0$
$3x^2 - x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются.

Ответ: Графики функций не пересекаются.

2) $y = 3x^2 + 4x + 1$ и $y = -2x^2 + x + 3$

Проанализируем и построим графики данных функций.

Первая функция $y = 3x^2 + 4x + 1$ — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3 > 0$).
Координаты вершины:
$x_v = -4 / (2 \cdot 3) = -2/3 \approx -0.67$.
$y_v = 3(-2/3)^2 + 4(-2/3) + 1 = 3(4/9) - 8/3 + 1 = 4/3 - 8/3 + 3/3 = -1/3 \approx -0.33$.
Вершина: $(-2/3; -1/3)$.
Точки на графике:
При $x = 0$, $y = 1$.
При $x = -1$, $y = 3(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 0$.
При $x = 1$, $y = 3(1)^2 + 4(1) + 1 = 8$.

Вторая функция $y = -2x^2 + x + 3$ — парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-2 < 0$).
Координаты вершины:
$x_v = -1 / (2 \cdot (-2)) = 1/4 = 0.25$.
$y_v = -2(0.25)^2 + 0.25 + 3 = -2(0.0625) + 0.25 + 3 = -0.125 + 0.25 + 3 = 3.125$.
Вершина: $(0.25; 3.125)$.
Точки на графике:
При $x = 0$, $y = 3$.
При $x = -1$, $y = -2(-1)^2 + (-1) + 3 = 0$.
При $x = 1$, $y = -2(1)^2 + 1 + 3 = 2$.
При $x = 1.5$, $y = -2(1.5)^2 + 1.5 + 3 = 0$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости:

Из графика видно, что параболы пересекаются в двух точках. Чтобы найти их точные координаты, решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 3x^2 + 4x + 1 \\ y = -2x^2 + x + 3 \end{cases} $
Приравняем правые части:
$3x^2 + 4x + 1 = -2x^2 + x + 3$
$3x^2 + 2x^2 + 4x - x + 1 - 3 = 0$
$5x^2 + 3x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = (-3 - 7) / (2 \cdot 5) = -10 / 10 = -1$.
$x_2 = (-3 + 7) / (2 \cdot 5) = 4 / 10 = 0.4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений.
При $x_1 = -1$:
$y_1 = 3(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0$.
Первая точка пересечения: $(-1; 0)$.
При $x_2 = 0.4$:
$y_2 = 3(0.4)^2 + 4(0.4) + 1 = 3(0.16) + 1.6 + 1 = 0.48 + 1.6 + 1 = 3.08$.
Вторая точка пересечения: $(0.4; 3.08)$.
Эти значения соответствуют точкам, которые мы видим на графике.

Ответ: Приближенные значения координат точек пересечения: $(-1; 0)$ и $(0.4; 3.08)$.