Вопросы, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Является ли числовая последовательность:

1) 0; 0; 0; 0; ... ;

2) 1; 1; 1; ... геометрической прогрессией?

2. Может ли знаменатель геометрической прогрессии быть числом:

1) положительным дробным;

2) отрицательным;

3) иррациональным;

4) нулем?

3. Какими способами можно установить, является ли числовая последовательность геометрической прогрессией?

1. 1) 0; 0; 0; 0; ...
По определению, числовая последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $b_n$ - члены прогрессии, а $q$ - некоторое число (знаменатель прогрессии). В стандартном определении также накладываются ограничения $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.
Для последовательности 0; 0; 0; 0; ... имеем $b_1 = 0, b_2 = 0$ и так далее. Попытка найти знаменатель $q$ через отношение $q = \frac{b_2}{b_1}$ приводит к неопределенности $\frac{0}{0}$. Таким образом, найти знаменатель прогрессии делением последующего члена на предыдущий невозможно.
Если же исходить из равенства $b_{n+1} = b_n \cdot q$, то для $n=1$ имеем $0 = 0 \cdot q$. Это равенство верно для любого числа $q$, то есть знаменатель не может быть определен однозначно.
Ввиду этих неопределенностей и исходя из стандартного определения, требующего $b_1 \neq 0$, данная последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: Нет, последовательность 0; 0; 0; ... не является геометрической прогрессией, так как ее знаменатель не определен.

2) 1; 1; 1; ...
Рассмотрим последовательность 1; 1; 1; ... . Здесь первый член $b_1 = 1$. Найдем отношение последующих членов к предыдущим:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{1} = 1$
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{1} = 1$
Отношение для всех соседних членов постоянно и равно 1. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = 1$.
Ответ: Да, последовательность 1; 1; 1; ... является геометрической прогрессией.

2. 1) положительным дробным
Да, может. Например, если первый член $b_1 = 16$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$, то мы получим геометрическую прогрессию: 16, 8, 4, 2, 1, ...
Ответ: Да.

2) отрицательным
Да, может. Например, если первый член $b_1 = 3$, а знаменатель $q = -2$, то мы получим знакочередующуюся геометрическую прогрессию: 3, -6, 12, -24, ...
Ответ: Да.

3) иррациональным
Да, может. Например, если первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \sqrt{2}$, то мы получим геометрическую прогрессию: $1, \sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, ...$
Ответ: Да.

4) нулем
Нет, не может. В определении геометрической прогрессии знаменатель $q$ должен быть отличен от нуля ($q \neq 0$). Если бы $q=0$, то последовательность с $b_1 \neq 0$ имела бы вид $b_1, 0, 0, 0, ...$. Для такой последовательности отношение $\frac{b_3}{b_2} = \frac{0}{0}$ не определено, поэтому она не соответствует свойству постоянства отношения и по стандартному определению не является геометрической прогрессией.
Ответ: Нет.

3. Чтобы установить, является ли числовая последовательность $(b_n)$ геометрической прогрессией, можно использовать следующие способы:
1. Проверка постоянства отношения. Необходимо проверить, что все члены последовательности отличны от нуля и отношение каждого последующего члена к предыдущему является постоянной величиной. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, где $q$ - константа, не равная нулю. Если это условие выполняется для всех известных членов, последовательность является геометрической прогрессией.

2. Использование характеристического свойства. Для геометрической прогрессии с ненулевыми членами квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению соседних с ним членов: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$ для всех $n \ge 2$. Если это свойство выполняется для всех членов последовательности (начиная со второго), то она является геометрической прогрессией.

3. Анализ формулы n-го члена. Если последовательность задана формулой своего n-го члена $b_n = f(n)$, нужно проверить, можно ли эту формулу представить в виде $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ и $q$ - некоторые постоянные числа, причем $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$. Любая последовательность, задаваемая формулой вида $b_n = c \cdot a^n$ (где $c, a$ - ненулевые константы), является геометрической.
Ответ: Можно проверить постоянство отношения соседних членов, проверить выполнение характеристического свойства $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$, или проанализировать формулу n-го члена на соответствие виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.