Номер 15.2, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.2. Задана геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите:

1) $b_7$, если $b_1 = 18$, $q = -\frac{1}{4}$;

2) $b_5$, если $b_1 = 64$, $q = -\frac{1}{4}$;

3) $b_8$, если $b_1 = 4$, $q = \frac{1}{5}$;

4) $b_9$, если $b_1 = -625$, $q = -\frac{1}{5}$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

1) Найдем $b_7$, если $b_1 = 18$, $q = -\frac{1}{4}$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии при $n=7$:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 18 \cdot (-\frac{1}{4})^6$.
Поскольку показатель степени (6) является четным числом, знак минус в основании степени исчезает:
$b_7 = 18 \cdot (\frac{1}{4})^6 = 18 \cdot \frac{1^6}{4^6} = 18 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{18}{4096}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$b_7 = \frac{18 \div 2}{4096 \div 2} = \frac{9}{2048}$.
Ответ: $\frac{9}{2048}$.

2) Найдем $b_5$, если $b_1 = 64$, $q = \frac{1}{4}$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии при $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 64 \cdot (\frac{1}{4})^4$.
Вычислим значение степени:
$(\frac{1}{4})^4 = \frac{1^4}{4^4} = \frac{1}{256}$.
Теперь найдем $b_5$:
$b_5 = 64 \cdot \frac{1}{256} = \frac{64}{256}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 64:
$b_5 = \frac{64 \div 64}{256 \div 64} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Найдем $b_8$, если $b_1 = 4$, $q = \frac{1}{5}$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии при $n=8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = 4 \cdot (\frac{1}{5})^7$.
Вычислим значение степени:
$(\frac{1}{5})^7 = \frac{1^7}{5^7} = \frac{1}{78125}$.
Теперь найдем $b_8$:
$b_8 = 4 \cdot \frac{1}{78125} = \frac{4}{78125}$.
Ответ: $\frac{4}{78125}$.

4) Найдем $b_9$, если $b_1 = -625$, $q = -\frac{1}{5}$.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии при $n=9$:
$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1} = -625 \cdot (-\frac{1}{5})^8$.
Поскольку показатель степени (8) является четным числом, знак минус в основании степени исчезает:
$b_9 = -625 \cdot (\frac{1}{5})^8 = -625 \cdot \frac{1}{5^8}$.
Представим 625 как степень числа 5: $625 = 5^4$.
$b_9 = -5^4 \cdot \frac{1}{5^8} = -\frac{5^4}{5^8}$.
Сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$b_9 = -\frac{1}{5^{8-4}} = -\frac{1}{5^4} = -\frac{1}{625}$.
Ответ: $-\frac{1}{625}$.