Номер 15.8, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.8. Третий член геометрической прогрессии равен $\\sqrt{3}$. Найдите значение произведения первых пяти членов этой прогрессии.

Пусть $(b_n)$ - геометрическая прогрессия, где $b_1$ - первый член, а $q$ - знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, третий член прогрессии равен $\sqrt{3}$, то есть $b_3 = \sqrt{3}$.

Нам необходимо найти произведение первых пяти членов этой прогрессии. Обозначим это произведение как $P_5$.

$P_5 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5$

Выразим каждый член через $b_1$ и $q$:

$b_1 = b_1$

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Теперь подставим эти выражения в формулу для произведения:

$P_5 = b_1 \cdot (b_1 q) \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4)$

Сгруппируем множители $b_1$ и $q$:

$P_5 = (b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1) \cdot (q^{0} \cdot q^{1} \cdot q^{2} \cdot q^{3} \cdot q^{4})$

$P_5 = b_1^5 \cdot q^{0+1+2+3+4}$

$P_5 = b_1^5 \cdot q^{10}$

Полученное выражение можно преобразовать, вынеся степень 5 за скобки:

$P_5 = (b_1 \cdot q^2)^5$

Заметим, что выражение в скобках $b_1 \cdot q^2$ является формулой для третьего члена прогрессии, $b_3$.

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Следовательно, мы можем выразить произведение $P_5$ через $b_3$:

$P_5 = (b_3)^5$

Так как по условию $b_3 = \sqrt{3}$, подставим это значение в формулу:

$P_5 = (\sqrt{3})^5$

Вычислим значение:

$P_5 = (\sqrt{3})^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Ответ: $9\sqrt{3}$