Номер 15.1, страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.1. Какие из следующих конечных последовательностей являются:

а) арифметическими прогрессиями;

б) геометрическими прогрессиями:

1) -14; -4; 6; 16; 26;

2) 2; 20; 200; 2000; 20 000;

3) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{18}$; $\frac{1}{54}$; $\frac{1}{108}$;

4) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{6}$; $0$; $-\frac{1}{6}$;

5) $2$; $-\sqrt{2}$; $1$; $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{1}{2}$;

6) $\frac{14}{17}$; $\frac{9}{17}$; $\frac{4}{17}$; $-\frac{1}{17}$; $-\frac{6}{17}$?

а) арифметическими прогрессиями

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью прогрессии ($d$). Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить, постоянна ли разность между соседними членами ($d = a_{n+1} - a_n$).

Проверим последовательности:

1) $-14; -4; 6; 16; 26$

Вычислим разности:

$-4 - (-14) = 10$

$6 - (-4) = 10$

$16 - 6 = 10$

$26 - 16 = 10$

Разность постоянна и равна $d=10$. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

4) $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{6}; 0; -\frac{1}{6}$

Вычислим разности:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$

$\frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{1}{6}$

$0 - \frac{1}{6} = -\frac{1}{6}$

$-\frac{1}{6} - 0 = -\frac{1}{6}$

Разность постоянна и равна $d=-\frac{1}{6}$. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

6) $\frac{14}{17}; \frac{9}{17}; \frac{4}{17}; -\frac{1}{17}; -\frac{6}{17}$

Вычислим разности:

$\frac{9}{17} - \frac{14}{17} = -\frac{5}{17}$

$\frac{4}{17} - \frac{9}{17} = -\frac{5}{17}$

$-\frac{1}{17} - \frac{4}{17} = -\frac{5}{17}$

$-\frac{6}{17} - (-\frac{1}{17}) = -\frac{6}{17} + \frac{1}{17} = -\frac{5}{17}$

Разность постоянна и равна $d=-\frac{5}{17}$. Эта последовательность является арифметической прогрессией.

Для остальных последовательностей (2, 3, 5) разность между соседними членами не является постоянной, поэтому они не являются арифметическими прогрессиями.

Ответ: 1), 4), 6).

б) геометрическими прогрессиями

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии ($q$). Чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно проверить, постоянно ли отношение соседних членов ($q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$).

Проверим последовательности:

2) $2; 20; 200; 2000; 20 000$

Вычислим отношения:

$\frac{20}{2} = 10$

$\frac{200}{20} = 10$

$\frac{2000}{200} = 10$

$\frac{20000}{2000} = 10$

Отношение постоянно и равно $q=10$. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

5) $2; -\sqrt{2}; 1; -\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{2}$

Вычислим отношения:

$\frac{-\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{-\sqrt{2}/2}{1} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1/2}{-\sqrt{2}/2} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отношение постоянно и равно $q=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта последовательность является геометрической прогрессией.

Для остальных последовательностей (1, 3, 4, 6) отношение соседних членов не является постоянным. Например, в последовательности 3) отношение первых членов равно $\frac{1}{3}$, а отношение последнего к предпоследнему $\frac{1/108}{1/54} = \frac{1}{2}$. Следовательно, они не являются геометрическими прогрессиями.

Ответ: 2), 5).