Номер 14.30, страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.30. Решите графически уравнение:

1) $7x - 6 = x^3;$

2) $x^3 = \sqrt{x};$

3) $0.5x - 2 = \frac{6}{x};$

4) $3x - 1 = \frac{2}{x}.$

1) Чтобы решить уравнение $7x - 6 = x^3$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 7x - 6$ (прямая) и $y = x^3$ (кубическая парабола).

Построим прямую $y = 7x - 6$ по двум точкам. Например, если $x=1$, то $y = 7(1) - 6 = 1$. Если $x=2$, то $y = 7(2) - 6 = 8$. Прямая проходит через точки $(1, 1)$ и $(2, 8)$.

Построим график функции $y = x^3$. Это стандартная кубическая парабола, проходящая через точки $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

Графики пересекаются в трех точках. Абсциссы (координаты $x$) этих точек являются решениями уравнения. Из графика находим три точки пересечения, абсциссы которых равны $-3$, $1$ и $2$.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 1, x_3 = 2$.

2) Чтобы решить уравнение $x^3 = \sqrt{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = \sqrt{x}$.

Область определения уравнения задается условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. Поэтому мы будем рассматривать графики только в первой координатной четверти.

Графики пересекаются в двух точках: $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек $x=0$ и $x=1$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

3) Чтобы решить уравнение $0,5x - 2 = \frac{6}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 0,5x - 2$ (прямая) и $y = \frac{6}{x}$ (гипербола).

Область определения: $x \neq 0$.

Прямая $y = 0,5x - 2$ проходит через точки $(-2, -3)$ и $(6, 1)$.

График $y = \frac{6}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек $x = -2$ и $x = 6$ являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 6$.

4) Чтобы решить уравнение $3x - 1 = \frac{2}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = 3x - 1$ (прямая) и $y = \frac{2}{x}$ (гипербола).

Область определения: $x \neq 0$.

Прямая $y = 3x - 1$ проходит через точки $(1, 2)$ и $(0, -1)$.

График $y = \frac{2}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

Графики пересекаются в двух точках. Из графика видно, что абсцисса одной точки пересечения $x_1 = 1$. Абсцисса второй точки находится между $-0,5$ и $-1$, примерно $x_2 \approx -0,7$. Точное значение можно найти, решив квадратное уравнение $3x^2 - x - 2 = 0$, корнями которого являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2/3$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -2/3$.