Номер 14.27, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.27. С формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ связан интересный эпизод из жизни немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учащихся других классов, задал на уроке следующую задачу: "Найти значение суммы всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + 100$".

Каково же было удивление учителя когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: "Я уже решил". Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Карл Фридрих
Гаусс
(1777–1855)

Вот схема его рассуждений. Значение суммы чисел в каждой паре равно 101:

$$\begin{array}{@{}r@{\quad}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c} & 1, & 2, & 3, & \dots, & 100 \\+ & 100, & 99, & 98, & \dots, & 1 \\\hline & 101, & 101, & 101, & \dots, & 101\end{array}$$

Таких пар 100, поэтому значение искомой суммы равно значению произведения $101 \cdot 50 = 5050$.

Задача, описанная в тексте, заключается в нахождении суммы всех натуральных чисел от 1 до 100. Это можно записать в виде выражения: $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 99 + 100$. Существует элегантный метод решения этой задачи, который, согласно известной истории, был придуман юным Карлом Фридрихом Гауссом.

Метод Гаусса основан на простой, но гениальной идее. Он заметил, что если сгруппировать числа парами, взяв одно с начала последовательности, а другое — с конца, то сумма в каждой паре будет одинаковой:

• $1 + 100 = 101$
• $2 + 99 = 101$
• $3 + 98 = 101$
• ...и так далее.

Поскольку в последовательности всего 100 чисел, мы можем сформировать $100 / 2 = 50$ таких пар. Сумма чисел в каждой паре равна 101. Следовательно, чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество пар:

$S = 101 \cdot 50 = 5050$

Этот же метод можно представить иначе, записав всю сумму дважды: один раз в прямом порядке, а второй раз — в обратном. Затем эти две суммы складываются почленно, как показано на схеме:

В результате мы получаем 100 пар, каждая из которых в сумме дает 101. Общая сумма этих пар равна $100 \cdot 101 = 10100$. Поскольку мы сложили две одинаковые исходные последовательности, полученный результат ($2S$) вдвое больше искомой суммы. Чтобы найти $S$, нужно разделить результат на 2:

$S = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$

Этот подход лежит в основе общей формулы для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая также упомянута в условии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Последовательность чисел от 1 до 100 — это арифметическая прогрессия, где:

• первый член $a_1 = 1$;
• последний член $a_n = a_{100} = 100$;
• количество членов $n = 100$.

Применяя формулу, получаем тот же результат:

$S_{100} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 100 = \frac{101}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 50 = 5050$

Формула наглядно показывает суть метода: $a_1 + a_n$ — это сумма чисел в паре, а умножение на $\frac{n}{2}$ соответствует умножению на количество таких пар.

Ответ: 5050.