Номер 14.22, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.22. 1) Значение суммы первого, четвертого и тринадцатого членов арифметической прогрессии равно 23. Найдите $a_6$ и $S_{11}$.

2) Значение суммы первого, шестого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равно 63. Найдите $a_{10}$ и $S_{19}$.

1)

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию, сумма первого, четвертого и тринадцатого членов равна 23:

$a_1 + a_4 + a_{13} = 23$

Выразим $a_4$ и $a_{13}$ через $a_1$ и $d$:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$a_1 + (a_1 + 3d) + (a_1 + 12d) = 23$

Упростим полученное выражение:

$3a_1 + 15d = 23$

Вынесем 3 за скобки:

$3(a_1 + 5d) = 23$

Заметим, что выражение в скобках равно шестому члену прогрессии: $a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$.

Таким образом, мы получаем:

$3a_6 = 23$

$a_6 = \frac{23}{3}$

Теперь найдем сумму первых одиннадцати членов прогрессии, $S_{11}$. Воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$S_{11} = \frac{2a_1 + (11-1)d}{2} \cdot 11 = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11$

Вынесем 2 из числителя в скобках:

$S_{11} = \frac{2(a_1 + 5d)}{2} \cdot 11 = (a_1 + 5d) \cdot 11$

Поскольку $a_1 + 5d = a_6$, то:

$S_{11} = a_6 \cdot 11 = \frac{23}{3} \cdot 11 = \frac{253}{3}$

Ответ: $a_6 = \frac{23}{3}$, $S_{11} = \frac{253}{3}$.

2)

По условию, сумма первого, шестого и четырнадцатого членов арифметической прогрессии равна 63:

$a_1 + a_6 + a_{14} = 63$

Выразим $a_6$ и $a_{14}$ через $a_1$ и разность прогрессии $d$:

$a_6 = a_1 + 5d$

$a_{14} = a_1 + 13d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$a_1 + (a_1 + 5d) + (a_1 + 13d) = 63$

Упростим выражение:

$3a_1 + 18d = 63$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 6d = 21$

Выражение $a_1 + 6d$ является седьмым членом прогрессии, $a_7$. Таким образом, из условия задачи мы можем однозначно найти, что $a_7 = 21$.

Нам нужно найти $a_{10}$ и $S_{19}$.

$a_{10} = a_1 + 9d = (a_1 + 6d) + 3d = a_7 + 3d = 21 + 3d$

Сумма первых 19 членов $S_{19}$ связана с $a_{10}$ (так как $a_{10}$ является центральным членом для первых 19 членов):

$S_{19} = \frac{a_1 + a_{19}}{2} \cdot 19 = \frac{a_1 + (a_1 + 18d)}{2} \cdot 19 = \frac{2(a_1 + 9d)}{2} \cdot 19 = (a_1+9d) \cdot 19 = 19 a_{10}$

Как видно, значение $a_{10}$ (и, следовательно, $S_{19}$) зависит от разности прогрессии $d$, которую из условия задачи найти невозможно. Это означает, что задача в представленной формулировке не имеет единственного решения. Вероятно, в условии допущена опечатка.

Наиболее вероятная опечатка заключается в том, что требовалось найти те величины, которые однозначно определяются из условия, а именно $a_7$ и $S_{13}$ (так как $a_7$ является центральным членом для первых 13 членов).

Решим эту исправленную задачу:

Найти $a_7$ и $S_{13}$.

Как мы уже выяснили, $a_7 = 21$.

Найдем $S_{13}$ по формуле $S_n = n \cdot a_{\text{средний}}$:

$S_{13} = 13 \cdot a_7 = 13 \cdot 21 = 273$

Ответ: При условии, что в задаче опечатка и требуется найти $a_7$ и $S_{13}$, ответ: $a_7 = 21$, $S_{13} = 273$.