Номер 14.17, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.17. Найдите значение суммы всех двузначных чисел, которые при делении на:

1) 5 дают остаток 1;

2) 9 дают остаток 4.

1)

Нам нужно найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Числа, которые при делении на 5 дают в остатке 1, можно записать в виде $5k + 1$, где $k$ — целое число.

Найдем первое двузначное число, удовлетворяющее этому условию. Оно должно быть не меньше 10. $5k + 1 \ge 10 \implies 5k \ge 9 \implies k \ge 1.8$. Поскольку $k$ — целое, наименьшее значение $k=2$. Первый член последовательности: $a_1 = 5 \cdot 2 + 1 = 11$.

Найдем последнее двузначное число, удовлетворяющее этому условию. Оно должно быть не больше 99. $5k + 1 \le 99 \implies 5k \le 98 \implies k \le 19.6$. Наибольшее целое значение $k=19$. Последний член последовательности: $a_n = 5 \cdot 19 + 1 = 96$.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, где первый член $a_1 = 11$, последний член $a_n = 96$, и разность прогрессии $d=5$. Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$96 = 11 + (n-1) \cdot 5$
$85 = (n-1) \cdot 5$
$n-1 = 17$
$n = 18$

Сумму арифметической прогрессии найдем по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{18} = \frac{11 + 96}{2} \cdot 18 = \frac{107}{2} \cdot 18 = 107 \cdot 9 = 963$.

Ответ: 963.

2)

Нам нужно найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4. Эти числа можно записать в виде $9k + 4$, где $k$ — целое число.

Найдем первое такое двузначное число ($ \ge 10$):
$9k + 4 \ge 10 \implies 9k \ge 6 \implies k \ge \frac{6}{9}$. Наименьшее целое значение $k=1$. Первый член последовательности: $a_1 = 9 \cdot 1 + 4 = 13$.

Найдем последнее такое двузначное число ($ \le 99$):
$9k + 4 \le 99 \implies 9k \le 95 \implies k \le \frac{95}{9} \approx 10.55$. Наибольшее целое значение $k=10$. Последний член последовательности: $a_n = 9 \cdot 10 + 4 = 94$.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, где первый член $a_1 = 13$, последний член $a_n = 94$, и разность прогрессии $d=9$. Найдем количество членов $n$ в этой прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$94 = 13 + (n-1) \cdot 9$
$81 = (n-1) \cdot 9$
$n-1 = 9$
$n = 10$

Сумму арифметической прогрессии найдем по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{10} = \frac{13 + 94}{2} \cdot 10 = \frac{107}{2} \cdot 10 = 107 \cdot 5 = 535$.

Ответ: 535.