Номер 14.19, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.19. Найдите значение суммы всех трехзначных чисел, которые при делении на:

1) 5 дают остаток 3;

2) 25 дают остаток 11.

1)

Все трехзначные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 3, образуют арифметическую прогрессию. Такие числа можно представить формулой $a_k = 5k + 3$, где $k$ — целое число.

Найдем первый и последний члены этой прогрессии, которые являются трехзначными числами (то есть, находятся в диапазоне от 100 до 999).

Для нахождения первого члена $a_1$ решим неравенство $5k + 3 \ge 100$. Это дает $5k \ge 97$, или $k \ge 19.4$. Так как $k$ — целое число, наименьшее подходящее значение $k=20$. Следовательно, первый член прогрессии $a_1 = 5 \cdot 20 + 3 = 103$.

Для нахождения последнего члена $a_n$ решим неравенство $5k + 3 \le 999$. Это дает $5k \le 996$, или $k \le 199.2$. Наибольшее подходящее целое значение $k=199$. Следовательно, последний член прогрессии $a_n = 5 \cdot 199 + 3 = 998$.

Разность этой арифметической прогрессии $d=5$. Количество членов $n$ можно найти из диапазона значений $k$: $n = 199 - 20 + 1 = 180$. Или по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$, откуда $998 = 103 + (n-1) \cdot 5$, что приводит к $895 = 5(n-1)$, $n-1 = 179$ и $n=180$.

Сумму $S_n$ этой прогрессии вычислим по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$: $S_{180} = \frac{103 + 998}{2} \cdot 180 = 1101 \cdot 90 = 99090$.

Ответ: 99090

2)

Аналогично, все трехзначные числа, которые при делении на 25 дают в остатке 11, образуют арифметическую прогрессию. Общий член такой прогрессии $b_k = 25k + 11$.

Найдем первый и последний трехзначные члены этой прогрессии.

Для первого члена $b_1$: решим неравенство $25k + 11 \ge 100$. Получаем $25k \ge 89$, или $k \ge 3.56$. Наименьшее целое $k=4$, значит, первый член $b_1 = 25 \cdot 4 + 11 = 111$.

Для последнего члена $b_n$: решим неравенство $25k + 11 \le 999$. Получаем $25k \le 988$, или $k \le 39.52$. Наибольшее целое $k=39$, значит, последний член $b_n = 25 \cdot 39 + 11 = 975 + 11 = 986$.

Разность прогрессии $d=25$. Количество членов $n$ найдем из диапазона $k$: $n = 39 - 4 + 1 = 36$.

Сумму $S_n$ этой прогрессии вычислим по формуле $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$: $S_{36} = \frac{111 + 986}{2} \cdot 36 = 1097 \cdot 18 = 19746$.

Ответ: 19746