Номер 14.14, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.14.1) Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если

$a_3 + a_{11} = 20.$

$a_7 + a_{13} = 24.$

1)

Для решения задачи воспользуемся свойством арифметической прогрессии, которое гласит, что если суммы индексов членов прогрессии равны, то равны и суммы самих членов. То есть, если $p+q = k+l$, то $a_p + a_q = a_k + a_l$.

В данном случае нам дано равенство $a_3 + a_{11} = 20$. Сумма индексов равна $3 + 11 = 14$.

Нам нужно найти седьмой член прогрессии, $a_7$. Заметим, что мы можем представить его как сумму с самим собой: $a_7 + a_7$. Сумма индексов в этом случае будет $7 + 7 = 14$.

Поскольку $3 + 11 = 7 + 7$, мы можем записать:

$a_3 + a_{11} = a_7 + a_7 = 2a_7$

Подставим известное значение суммы:

$2a_7 = 20$

Отсюда находим $a_7$:

$a_7 = \frac{20}{2} = 10$

Альтернативное решение с использованием формулы n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Выразим $a_3$ и $a_{11}$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = a_1 + 10d$

Подставим эти выражения в данное уравнение:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 10d) = 20$

$2a_1 + 12d = 20$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 6d = 10$

Теперь выразим искомый седьмой член прогрессии $a_7$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Мы уже выяснили, что $a_1 + 6d = 10$, следовательно, $a_7 = 10$.

Ответ: 10

2)

Воспользуемся тем же свойством арифметической прогрессии, что и в первой задаче: если $p+q = k+l$, то $a_p + a_q = a_k + a_l$.

По условию $a_7 + a_{13} = 24$. Сумма индексов $7 + 13 = 20$.

Нам нужно найти $a_{10}$. Представим его как сумму с самим собой $a_{10} + a_{10}$, где сумма индексов $10 + 10 = 20$.

Так как суммы индексов равны ($7+13 = 10+10$), то равны и суммы членов:

$a_7 + a_{13} = a_{10} + a_{10} = 2a_{10}$

Подставим известное значение:

$2a_{10} = 24$

Отсюда находим $a_{10}$:

$a_{10} = \frac{24}{2} = 12$

Альтернативное решение с использованием формулы n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим $a_7$ и $a_{13}$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

Подставим в исходное равенство:

$(a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 24$

$2a_1 + 18d = 24$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 9d = 12$

Теперь выразим искомый десятый член прогрессии $a_{10}$:

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Так как $a_1 + 9d = 12$, то $a_{10} = 12$.

Ответ: 12