Номер 14.11, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.11.1) В арифметической прогрессии $a_n = 5n - 100$. Найдите значение суммы всех отрицательных членов этой прогрессии.

2) В арифметической прогрессии $a_n = 7n - 130$. Найдите значение суммы всех отрицательных членов этой прогрессии.

3) В арифметической прогрессии $a_n = 51 - 3n$. Найдите значение суммы всех положительных членов этой прогрессии.

4) В арифметической прогрессии $a_n = 58 - 4n$. Найдите значение суммы всех положительных членов этой прогрессии.

1) Дана арифметическая прогрессия, заданная формулой $a_n = 5n - 100$. Чтобы найти сумму всех ее отрицательных членов, сначала определим, для каких номеров $n$ члены прогрессии отрицательны, то есть $a_n < 0$. Учитываем, что $n$ — натуральное число.
Решим неравенство:
$5n - 100 < 0$
$5n < 100$
$n < 20$
Таким образом, отрицательными являются члены с 1-го по 19-й включительно. Общее количество таких членов — 19.
Найдем первый и последний из этих членов:
$a_1 = 5 \cdot 1 - 100 = -95$
$a_{19} = 5 \cdot 19 - 100 = 95 - 100 = -5$
Теперь воспользуемся формулой суммы первых $k$ членов арифметической прогрессии $S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k$ для нахождения суммы этих 19 членов:
$S_{19} = \frac{a_1 + a_{19}}{2} \cdot 19 = \frac{-95 + (-5)}{2} \cdot 19 = \frac{-100}{2} \cdot 19 = -50 \cdot 19 = -950$.
Ответ: -950.

2) В арифметической прогрессии $a_n = 7n - 130$ найдем сумму всех отрицательных членов. Для этого определим, при каких натуральных значениях $n$ выполняется неравенство $a_n < 0$.
Решим неравенство:
$7n - 130 < 0$
$7n < 130$
$n < \frac{130}{7}$
$n < 18\frac{4}{7}$
Следовательно, отрицательными являются члены прогрессии с номерами от 1 до 18. Всего 18 отрицательных членов.
Найдем первый член $a_1$ и восемнадцатый член $a_{18}$:
$a_1 = 7 \cdot 1 - 130 = -123$
$a_{18} = 7 \cdot 18 - 130 = 126 - 130 = -4$
Вычислим сумму этих членов по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_{18} = \frac{a_1 + a_{18}}{2} \cdot 18 = \frac{-123 + (-4)}{2} \cdot 18 = \frac{-127}{2} \cdot 18 = -127 \cdot 9 = -1143$.
Ответ: -1143.

3) Дана арифметическая прогрессия $a_n = 51 - 3n$. Требуется найти сумму всех ее положительных членов. Определим, при каких натуральных $n$ члены прогрессии положительны, то есть $a_n > 0$.
Решим неравенство:
$51 - 3n > 0$
$51 > 3n$
$17 > n$, или $n < 17$
Положительными являются члены с номерами от 1 до 16. Их количество равно 16.
Найдем первый член $a_1$ и шестнадцатый член $a_{16}$:
$a_1 = 51 - 3 \cdot 1 = 48$
$a_{16} = 51 - 3 \cdot 16 = 51 - 48 = 3$
Теперь найдем сумму этих 16 членов:
$S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16 = \frac{48 + 3}{2} \cdot 16 = \frac{51}{2} \cdot 16 = 51 \cdot 8 = 408$.
Ответ: 408.

4) Дана арифметическая прогрессия $a_n = 58 - 4n$. Найдем сумму всех ее положительных членов. Для этого решим неравенство $a_n > 0$ для натуральных $n$.
Решим неравенство:
$58 - 4n > 0$
$58 > 4n$
$\frac{58}{4} > n$
$14.5 > n$, или $n < 14.5$
Положительными являются члены с номерами от 1 до 14. Всего 14 положительных членов.
Найдем первый и четырнадцатый члены прогрессии:
$a_1 = 58 - 4 \cdot 1 = 54$
$a_{14} = 58 - 4 \cdot 14 = 58 - 56 = 2$
Вычислим сумму этих членов, используя формулу суммы:
$S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = \frac{54 + 2}{2} \cdot 14 = \frac{56}{2} \cdot 14 = 28 \cdot 14 = 392$.
Ответ: 392.