Номер 14.8, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.8. Арифметическая прогрессия ($x_n$) задана формулой:

1) $x_n = 3n + 2$. Найдите значение суммы 20 первых ее членов;

2) $x_n = 2n - 9$. Найдите значение суммы 30 первых ее членов;

3) $x_n = -4n + 12$. Найдите значение суммы 12 первых ее членов;

4) $x_n = -2,3n - 7,2$. Найдите значение суммы 29 первых ее членов.

Для решения всех подпунктов задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n$

где $x_1$ — первый член прогрессии, $x_n$ — n-й член прогрессии, а $n$ — количество членов.

1) Арифметическая прогрессия задана формулой $x_n = 3n + 2$. Найдем значение суммы 20 первых ее членов ($S_{20}$).

Сначала определим первый член прогрессии ($x_1$), подставив $n=1$:

$x_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$

Затем найдем двадцатый член прогрессии ($x_{20}$), подставив $n=20$:

$x_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 60 + 2 = 62$

Теперь вычислим сумму, подставив найденные значения в формулу:

$S_{20} = \frac{x_1 + x_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670$

Ответ: 670.

2) Арифметическая прогрессия задана формулой $x_n = 2n - 9$. Найдем значение суммы 30 первых ее членов ($S_{30}$).

Определим первый член прогрессии ($x_1$):

$x_1 = 2 \cdot 1 - 9 = -7$

Найдем тридцатый член прогрессии ($x_{30}$):

$x_{30} = 2 \cdot 30 - 9 = 60 - 9 = 51$

Вычислим сумму:

$S_{30} = \frac{x_1 + x_{30}}{2} \cdot 30 = \frac{-7 + 51}{2} \cdot 30 = \frac{44}{2} \cdot 30 = 22 \cdot 30 = 660$

Ответ: 660.

3) Арифметическая прогрессия задана формулой $x_n = -4n + 12$. Найдем значение суммы 12 первых ее членов ($S_{12}$).

Определим первый член прогрессии ($x_1$):

$x_1 = -4 \cdot 1 + 12 = 8$

Найдем двенадцатый член прогрессии ($x_{12}$):

$x_{12} = -4 \cdot 12 + 12 = -48 + 12 = -36$

Вычислим сумму:

$S_{12} = \frac{x_1 + x_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{8 + (-36)}{2} \cdot 12 = \frac{-28}{2} \cdot 12 = -14 \cdot 12 = -168$

Ответ: -168.

4) Арифметическая прогрессия задана формулой $x_n = -2,3n - 7,2$. Найдем значение суммы 29 первых ее членов ($S_{29}$).

Определим первый член прогрессии ($x_1$):

$x_1 = -2,3 \cdot 1 - 7,2 = -9,5$

Найдем двадцать девятый член прогрессии ($x_{29}$):

$x_{29} = -2,3 \cdot 29 - 7,2 = -66,7 - 7,2 = -73,9$

Вычислим сумму:

$S_{29} = \frac{x_1 + x_{29}}{2} \cdot 29 = \frac{-9,5 + (-73,9)}{2} \cdot 29 = \frac{-83,4}{2} \cdot 29 = -41,7 \cdot 29 = -1209,3$

Ответ: -1209,3.