Номер 14.3, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.3. Найдите $n$ и $S_n$, если:

1) $a_1 = 3, d = 3$ и $a_n = 27$;

2) $a_1 = 14, d = 6$ и $a_n = 84$;

3) $a_1 = -5.4, d = 1.8$ и $a_n = 30.6$;

4) $a_1 = -7.3, d = -2.6$ и $a_n = -30.7$.

1) Дано: $a_1 = 3$, $d = 3$ и $a_n = 27$.
Для нахождения номера члена прогрессии $n$ используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения в формулу:
$27 = 3 + (n-1) \cdot 3$
$27 - 3 = (n-1) \cdot 3$
$24 = 3(n-1)$
$n-1 = \frac{24}{3}$
$n-1 = 8$
$n = 9$
Теперь, зная $n$, найдем сумму первых $n$ членов прогрессии $S_n$ по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения:
$S_9 = \frac{3 + 27}{2} \cdot 9$
$S_9 = \frac{30}{2} \cdot 9$
$S_9 = 15 \cdot 9 = 135$
Ответ: $n = 9$, $S_9 = 135$.

2) Дано: $a_1 = 14$, $d = 6$ и $a_n = 84$.
Найдем $n$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$84 = 14 + (n-1) \cdot 6$
$84 - 14 = 6(n-1)$
$70 = 6(n-1)$
$n-1 = \frac{70}{6}$
$n-1 = \frac{35}{3}$
$n = \frac{35}{3} + 1 = \frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное число, то арифметической прогрессии с заданными параметрами не существует.
Ответ: для заданных условий решения нет, так как $n$ не является натуральным числом.

3) Дано: $a_1 = -5,4$, $d = 1,8$ и $a_n = 30,6$.
Найдем $n$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$30,6 = -5,4 + (n-1) \cdot 1,8$
$30,6 + 5,4 = 1,8(n-1)$
$36 = 1,8(n-1)$
$n-1 = \frac{36}{1,8}$
$n-1 = \frac{360}{18}$
$n-1 = 20$
$n = 21$
Теперь найдем сумму $S_n$ по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{21} = \frac{-5,4 + 30,6}{2} \cdot 21$
$S_{21} = \frac{25,2}{2} \cdot 21$
$S_{21} = 12,6 \cdot 21 = 264,6$
Ответ: $n = 21$, $S_{21} = 264,6$.

4) Дано: $a_1 = -7,3$, $d = -2,6$ и $a_n = -30,7$.
Найдем $n$ по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$-30,7 = -7,3 + (n-1) \cdot (-2,6)$
$-30,7 + 7,3 = -2,6(n-1)$
$-23,4 = -2,6(n-1)$
$n-1 = \frac{-23,4}{-2,6}$
$n-1 = \frac{234}{26}$
$n-1 = 9$
$n = 10$
Теперь найдем сумму $S_n$ по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{10} = \frac{-7,3 + (-30,7)}{2} \cdot 10$
$S_{10} = \frac{-38}{2} \cdot 10$
$S_{10} = -19 \cdot 10 = -190$
Ответ: $n = 10$, $S_{10} = -190$.