Номер 14.1, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.1. Найдите значение суммы 99 членов арифметической прогрессии:

1) 32, 35; ... ;

2) 106; 103; ... ;

3) -33; -29; ... ;

4) -23,5; -23; ... .

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов. Во всех пунктах задачи требуется найти сумму 99 членов, следовательно, $n = 99$.

1) 32, 35; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 32$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 35 - 32 = 3$.
Вычислим сумму 99 членов:
$S_{99} = \frac{2 \cdot 32 + 3(99-1)}{2} \cdot 99 = \frac{64 + 3 \cdot 98}{2} \cdot 99 = \frac{64 + 294}{2} \cdot 99 = \frac{358}{2} \cdot 99 = 179 \cdot 99 = 17721$.
Ответ: 17721.

2) 106; 103; ...
Первый член прогрессии $a_1 = 106$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 103 - 106 = -3$.
Вычислим сумму 99 членов:
$S_{99} = \frac{2 \cdot 106 + (-3)(99-1)}{2} \cdot 99 = \frac{212 - 3 \cdot 98}{2} \cdot 99 = \frac{212 - 294}{2} \cdot 99 = \frac{-82}{2} \cdot 99 = -41 \cdot 99 = -4059$.
Ответ: -4059.

3) -33; -29; ...
Первый член прогрессии $a_1 = -33$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -29 - (-33) = -29 + 33 = 4$.
Вычислим сумму 99 членов:
$S_{99} = \frac{2 \cdot (-33) + 4(99-1)}{2} \cdot 99 = \frac{-66 + 4 \cdot 98}{2} \cdot 99 = \frac{-66 + 392}{2} \cdot 99 = \frac{326}{2} \cdot 99 = 163 \cdot 99 = 16137$.
Ответ: 16137.

4) -23,5; -23; ...
Первый член прогрессии $a_1 = -23,5$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = -23 - (-23,5) = -23 + 23,5 = 0,5$.
Вычислим сумму 99 членов:
$S_{99} = \frac{2 \cdot (-23,5) + 0,5(99-1)}{2} \cdot 99 = \frac{-47 + 0,5 \cdot 98}{2} \cdot 99 = \frac{-47 + 49}{2} \cdot 99 = \frac{2}{2} \cdot 99 = 1 \cdot 99 = 99$.
Ответ: 99.