Номер 13.31, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.31. Постройте график функции и найдите промежутки ее возрастания:

1) $y = 2x^2 - 3x + 1;$
2) $y = -2x^2 + 5x + 3;$
3) $y = -0,5x^2 - 3x + 4.$

1) y = 2x² - 3x + 1

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент $a = 2$, так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам $x_v = -b/(2a)$ и $y_v = y(x_v)$:

$x_v = -(-3) / (2 \cdot 2) = 3/4 = 0.75$

$y_v = 2 \cdot (0.75)^2 - 3 \cdot 0.75 + 1 = 2 \cdot 0.5625 - 2.25 + 1 = 1.125 - 2.25 + 1 = -0.125$

Вершина параболы находится в точке $(0.75, -0.125)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

С осью OX (при $y=0$): решим уравнение $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$x_1 = (3 - \sqrt{1}) / (2 \cdot 2) = 2/4 = 0.5$.

$x_2 = (3 + \sqrt{1}) / (2 \cdot 2) = 4/4 = 1$.

Точки пересечения с осью OX: $(0.5, 0)$ и $(1, 0)$.

Построим график функции, используя найденные точки и симметрию относительно оси $x = 0.75$.

Функция возрастает на том промежутке, где ее график идет вверх (с увеличением $x$ значение $y$ увеличивается). Так как ветви параболы направлены вверх, функция возрастает справа от вершины.

Промежуток возрастания: $[x_v, +\infty)$, то есть $[0.75, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0.75, +\infty)$.

2) y = -2x² + 5x + 3

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент $a = -2$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -5 / (2 \cdot (-2)) = -5 / (-4) = 1.25$

$y_v = -2 \cdot (1.25)^2 + 5 \cdot 1.25 + 3 = -2 \cdot 1.5625 + 6.25 + 3 = -3.125 + 6.25 + 3 = 6.125$

Вершина параболы находится в точке $(1.25, 6.125)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = -2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

С осью OX (при $y=0$): решим уравнение $-2x^2 + 5x + 3 = 0$ или $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

$x_1 = (5 - \sqrt{49}) / (2 \cdot 2) = (5-7)/4 = -0.5$.

$x_2 = (5 + \sqrt{49}) / (2 \cdot 2) = (5+7)/4 = 3$.

Точки пересечения с осью OX: $(-0.5, 0)$ и $(3, 0)$.

Построим график функции.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает слева от вершины.

Промежуток возрастания: $(-\infty, x_v]$, то есть $(-\infty, 1.25]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1.25]$.

3) y = -0,5x² - 3x + 4

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент $a = -0.5$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -(-3) / (2 \cdot (-0.5)) = 3 / (-1) = -3$

$y_v = -0.5 \cdot (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + 4 = -0.5 \cdot 9 + 9 + 4 = -4.5 + 13 = 8.5$

Вершина параболы находится в точке $(-3, 8.5)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = -0.5 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка $(0, 4)$.

С осью OX (при $y=0$): решим уравнение $-0.5x^2 - 3x + 4 = 0$. Умножим на -2: $x^2 + 6x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.

$x_{1,2} = (-6 \pm \sqrt{68}) / 2 = (-6 \pm 2\sqrt{17}) / 2 = -3 \pm \sqrt{17}$.

$x_1 = -3 - \sqrt{17} \approx -7.12$.

$x_2 = -3 + \sqrt{17} \approx 1.12$.

Точки пересечения с осью OX: $(-3 - \sqrt{17}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{17}, 0)$.

Построим график функции.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает слева от вершины.

Промежуток возрастания: $(-\infty, x_v]$, то есть $(-\infty, -3]$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3]$.