Номер 13.25, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*13.25. Конечные арифметические прогрессии 7; 11; ... и 8; 11; ... имеют по 100 членов. Найдите число одинаковых членов этих прогрессий.

Пусть первая арифметическая прогрессия обозначается $(a_n)$, а вторая — $(b_m)$. Каждая из них содержит 100 членов.

Для первой прогрессии $7; 11; \ldots$ имеем: первый член $a_1 = 7$ и разность $d_1 = 11 - 7 = 4$. Общий член прогрессии выражается формулой $a_n = a_1 + (n-1)d_1 = 7 + (n-1)4 = 4n + 3$, где $1 \le n \le 100$. Последний член прогрессии: $a_{100} = 4 \cdot 100 + 3 = 403$.

Для второй прогрессии $8; 11; \ldots$ имеем: первый член $b_1 = 8$ и разность $d_2 = 11 - 8 = 3$. Общий член прогрессии выражается формулой $b_m = b_1 + (m-1)d_2 = 8 + (m-1)3 = 3m + 5$, где $1 \le m \le 100$. Последний член прогрессии: $b_{100} = 3 \cdot 100 + 5 = 305$.

Общие члены двух арифметических прогрессий сами образуют арифметическую прогрессию $(c_k)$. Найдем ее параметры.

Первый общий член можно найти, выписав несколько первых членов каждой прогрессии:
$(a_n): 7, 11, 15, \ldots$
$(b_m): 8, 11, 14, \ldots$
Видно, что первый общий член $c_1 = 11$.

Разность прогрессии общих членов $d_c$ равна наименьшему общему кратному (НОК) разностей исходных прогрессий: $d_c = \text{НОК}(d_1, d_2) = \text{НОК}(4, 3) = 12$.

Таким образом, последовательность общих членов задается формулой $c_k = c_1 + (k-1)d_c = 11 + (k-1)12$.

Общий член должен быть не больше последнего члена каждой из исходных прогрессий. Следовательно, он должен быть не больше наименьшего из их последних членов: $c_k \le \min(a_{100}, b_{100}) = \min(403, 305) = 305$.

Чтобы найти количество общих членов, решим неравенство относительно $k$:
$11 + (k-1)12 \le 305$
$12(k-1) \le 305 - 11$
$12(k-1) \le 294$
$k-1 \le \frac{294}{12}$
$k-1 \le 24.5$
$k \le 25.5$

Так как номер члена $k$ является натуральным числом, его максимальное значение равно 25. Это означает, что всего существует 25 общих членов.

Ответ: 25