Номер 13.28, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.28. Значение суммы первых трех членов возрастающей арифметической прогрессии с положительными членами равно 9, а значение суммы их квадратов равно 99. Найдите пятый член этой прогрессии.

Обозначим первый, второй и третий члены арифметической прогрессии как $a_1, a_2, a_3$, а разность прогрессии как $d$.

Из условий задачи нам известно следующее:

1. Прогрессия возрастающая, что означает $d > 0$.

2. Члены прогрессии положительные, то есть $a_n > 0$ для всех $n \ge 1$. В частности, первый член $a_1 > 0$.

3. Сумма первых трех членов равна 9: $a_1 + a_2 + a_3 = 9$.

4. Сумма их квадратов равна 99: $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 99$.

Для упрощения вычислений удобно представить первые три члена прогрессии в виде $a_2 - d, a_2, a_2 + d$.

Используя условие о сумме первых трех членов, найдем второй член $a_2$:

$(a_2 - d) + a_2 + (a_2 + d) = 9$

$3a_2 = 9$

$a_2 = 3$

Теперь, зная второй член, используем условие о сумме квадратов:

$(3 - d)^2 + 3^2 + (3 + d)^2 = 99$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $d$:

$(9 - 6d + d^2) + 9 + (9 + 6d + d^2) = 99$

$27 + 2d^2 = 99$

$2d^2 = 99 - 27$

$2d^2 = 72$

$d^2 = 36$

$d = \pm 6$

Так как по условию прогрессия возрастающая, мы должны выбрать положительное значение для разности: $d = 6$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя связь $a_1 = a_2 - d$:

$a_1 = 3 - 6 = -3$

Здесь мы обнаруживаем противоречие с условием, что все члены прогрессии должны быть положительными, так как $a_1 = -3$. Строгое следование всем условиям задачи ($a_1 > 0$ и $d > 0$) приводит к тому, что $a_1 = 3-d > 0$, откуда $d < 3$. Полученное значение $d=6$ не удовлетворяет этому требованию, что указывает на некорректность в постановке задачи. Вероятнее всего, условие о положительности членов является ошибкой.

Если предположить, что это условие можно опустить для нахождения ответа, то мы можем продолжить решение с $a_1 = -3$ и $d = 6$.

Цель задачи — найти пятый член прогрессии, $a_5$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим значения для $a_5$:

$a_5 = -3 + (5-1) \cdot 6 = -3 + 4 \cdot 6 = -3 + 24 = 21$

Ответ: 21