Номер 13.27, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.27. В арифметической прогрессии $\frac{c_5}{c_3} = \frac{7}{4}$. Докажите, что

$c_7 = 4c_2$.

Пусть $c_n$ — арифметическая прогрессия с первым членом $c_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $c_n = c_1 + (n-1)d$.

Используем данное в условии соотношение $\frac{c_5}{c_3} = \frac{7}{4}$. Выразим члены $c_5$ и $c_3$ через $c_1$ и $d$:
$c_5 = c_1 + (5-1)d = c_1 + 4d$
$c_3 = c_1 + (3-1)d = c_1 + 2d$

Подставим эти выражения в исходное соотношение и решим полученное уравнение относительно $c_1$ и $d$:
$\frac{c_1 + 4d}{c_1 + 2d} = \frac{7}{4}$
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$4(c_1 + 4d) = 7(c_1 + 2d)$
$4c_1 + 16d = 7c_1 + 14d$
Перегруппируем слагаемые:
$16d - 14d = 7c_1 - 4c_1$
$2d = 3c_1$
Это ключевое соотношение между первым членом и разностью прогрессии, которое следует из условия задачи.

Теперь рассмотрим равенство, которое необходимо доказать: $c_7 = 4c_2$.
Выразим левую и правую части этого равенства через $c_1$ и $d$:
Левая часть: $c_7 = c_1 + (7-1)d = c_1 + 6d$
Правая часть: $4c_2 = 4(c_1 + (2-1)d) = 4(c_1 + d) = 4c_1 + 4d$

Таким образом, доказываемое равенство $c_7 = 4c_2$ можно переписать в виде:
$c_1 + 6d = 4c_1 + 4d$
Упростим это выражение, перенеся члены с $d$ в левую часть, а с $c_1$ — в правую:
$6d - 4d = 4c_1 - c_1$
$2d = 3c_1$

Мы получили тождество $2d = 3c_1$, которое в точности совпадает с соотношением, выведенным ранее из условия $\frac{c_5}{c_3} = \frac{7}{4}$. Поскольку равенство $c_7 = 4c_2$ эквивалентно верному соотношению $2d = 3c_1$, то оно также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $c_7 = 4c_2$ доказано, так как оно приводится к эквивалентному соотношению $2d = 3c_1$, которое напрямую следует из условия $\frac{c_5}{c_3} = \frac{7}{4}$.