Номер 13.21, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.21. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если известно, что:

1) $a_1 + a_5 = 24$ и $a_1 \cdot a_3 = 60$;

2) $a_2 + a_4 = 16$ и $a_1 \cdot a_5 = 28$.

1)

Даны условия для арифметической прогрессии: $a_1 + a_5 = 24$ и $a_1 \cdot a_3 = 60$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Выразим члены $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} a_1 + (a_1 + 4d) = 24 \\ a_1 \cdot (a_1 + 2d) = 60 \end{cases}$

Упростим первое уравнение системы:

$2a_1 + 4d = 24$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 2d = 12$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} a_1 + 2d = 12 \\ a_1 \cdot (a_1 + 2d) = 60 \end{cases}$

Подставим выражение $(a_1 + 2d)$ из первого уравнения во второе:

$a_1 \cdot 12 = 60$

Отсюда находим $a_1$:

$a_1 = \frac{60}{12} = 5$

Теперь, зная $a_1$, найдем разность $d$ из уравнения $a_1 + 2d = 12$:

$5 + 2d = 12$

$2d = 12 - 5$

$2d = 7$

$d = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: первый член $a_1 = 5$, разность $d = 3.5$.

2)

Даны условия для арифметической прогрессии: $a_2 + a_4 = 16$ и $a_1 \cdot a_5 = 28$.

Выразим члены $a_2$, $a_4$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16 \\ a_1 \cdot (a_1 + 4d) = 28 \end{cases}$

Упростим первое уравнение системы:

$2a_1 + 4d = 16$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 2d = 8$

Выразим $a_1$ из этого уравнения:

$a_1 = 8 - 2d$

Теперь подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение системы $a_1 \cdot (a_1 + 4d) = 28$:

$(8 - 2d) \cdot ((8 - 2d) + 4d) = 28$

Упростим выражение в скобках:

$(8 - 2d) \cdot (8 + 2d) = 28$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$8^2 - (2d)^2 = 28$

$64 - 4d^2 = 28$

$4d^2 = 64 - 28$

$4d^2 = 36$

$d^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для разности $d$:

$d_1 = 3$ или $d_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие значения $a_1$ для каждого случая, используя формулу $a_1 = 8 - 2d$.

Случай 1: $d = 3$

$a_1 = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$

Таким образом, первое возможное решение: $a_1 = 2, d = 3$.

Случай 2: $d = -3$

$a_1 = 8 - 2(-3) = 8 + 6 = 14$

Таким образом, второе возможное решение: $a_1 = 14, d = -3$.

Ответ: существует два решения: первый член $a_1 = 2$ и разность $d = 3$, или первый член $a_1 = 14$ и разность $d = -3$.