Номер 13.17, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.17. Известны два члена арифметической прогрессии ($a_n$) $a_9 = -2.2$.

и $a_{14} = -10.8$. Найдите для этой прогрессии:

1) первый член и разность;

2) число положительных членов;

3) первый отрицательный член прогрессии.

1) первый член и разность;

Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Нам даны два члена прогрессии: $a_9 = -2,2$ и $a_{14} = -10,8$. Подставим эти значения в формулу, чтобы составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a_9 = a_1 + (9-1)d \\ a_{14} = a_1 + (14-1)d \end{cases} \implies \begin{cases} a_1 + 8d = -2,2 \\ a_1 + 13d = -10,8 \end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 13d) - (a_1 + 8d) = -10,8 - (-2,2)$

$5d = -10,8 + 2,2$

$5d = -8,6$

$d = -8,6 / 5 = -1,72$

Теперь, зная разность $d$, подставим ее значение в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:

$a_1 + 8(-1,72) = -2,2$

$a_1 - 13,76 = -2,2$

$a_1 = -2,2 + 13,76$

$a_1 = 11,56$

Ответ: первый член прогрессии $a_1 = 11,56$, разность $d = -1,72$.

2) число положительных членов;

Чтобы найти число положительных членов прогрессии, нужно решить неравенство $a_n > 0$. Используем формулу n-го члена с найденными значениями $a_1$ и $d$:

$a_n = 11,56 + (n-1)(-1,72) > 0$

$11,56 - 1,72(n-1) > 0$

$11,56 > 1,72(n-1)$

$n-1 < \frac{11,56}{1,72}$

$n-1 < 6,7209...$

$n < 7,7209...$

Так как $n$ — это порядковый номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=7$. Следовательно, в прогрессии 7 положительных членов (с первого по седьмой включительно).

Ответ: 7.

3) первый отрицательный член прогрессии.

Из решения предыдущего пункта следует, что первые 7 членов прогрессии положительны ($n \le 7$). Значит, первый отрицательный член прогрессии будет иметь номер $n=8$. Найдем значение этого члена $a_8$:

$a_8 = a_1 + (8-1)d$

$a_8 = 11,56 + 7(-1,72)$

$a_8 = 11,56 - 12,04$

$a_8 = -0,48$

Это первый член прогрессии, который меньше нуля.

Ответ: -0,48.