Номер 13.12, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.12 . Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:

1) $c_{10} = 8$ и $c_{21} = 63$;

2) $c_{12} = 16$ и $c_{21} = 88$;

3) $c_9 = -1,8$ и $c_{19} = 23,2$;

4) $c_{17} = 3,4$ и $c_{29} = -18,2$.

1) Для нахождения первого члена $c_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $c_n = c_1 + (n-1)d$.
Нам даны два члена прогрессии: $c_{10} = 8$ и $c_{21} = 63$.
Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $c_1$ и $d$:
$c_{10} = c_1 + (10-1)d \implies c_1 + 9d = 8$
$c_{21} = c_1 + (21-1)d \implies c_1 + 20d = 63$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:
$(c_1 + 20d) - (c_1 + 9d) = 63 - 8$
$c_1 + 20d - c_1 - 9d = 55$
$11d = 55$
$d = \frac{55}{11} = 5$
Теперь подставим найденное значение $d=5$ в первое уравнение ($c_1 + 9d = 8$), чтобы найти $c_1$:
$c_1 + 9 \cdot 5 = 8$
$c_1 + 45 = 8$
$c_1 = 8 - 45 = -37$
Ответ: первый член $c_1 = -37$, разность $d = 5$.

2) Даны члены прогрессии: $c_{12} = 16$ и $c_{21} = 88$.
Используя формулу $c_n = c_1 + (n-1)d$, составим систему уравнений:
$c_{12} = c_1 + (12-1)d \implies c_1 + 11d = 16$
$c_{21} = c_1 + (21-1)d \implies c_1 + 20d = 88$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(c_1 + 20d) - (c_1 + 11d) = 88 - 16$
$9d = 72$
$d = \frac{72}{9} = 8$
Подставим значение $d=8$ в первое уравнение ($c_1 + 11d = 16$):
$c_1 + 11 \cdot 8 = 16$
$c_1 + 88 = 16$
$c_1 = 16 - 88 = -72$
Ответ: первый член $c_1 = -72$, разность $d = 8$.

3) Даны члены прогрессии: $c_9 = -1,8$ и $c_{19} = 23,2$.
Используя формулу $c_n = c_1 + (n-1)d$, составим систему уравнений:
$c_9 = c_1 + (9-1)d \implies c_1 + 8d = -1,8$
$c_{19} = c_1 + (19-1)d \implies c_1 + 18d = 23,2$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(c_1 + 18d) - (c_1 + 8d) = 23,2 - (-1,8)$
$10d = 23,2 + 1,8$
$10d = 25$
$d = \frac{25}{10} = 2,5$
Подставим значение $d=2,5$ в первое уравнение ($c_1 + 8d = -1,8$):
$c_1 + 8 \cdot 2,5 = -1,8$
$c_1 + 20 = -1,8$
$c_1 = -1,8 - 20 = -21,8$
Ответ: первый член $c_1 = -21,8$, разность $d = 2,5$.

4) Даны члены прогрессии: $c_{17} = 3,4$ и $c_{29} = -18,2$.
Используя формулу $c_n = c_1 + (n-1)d$, составим систему уравнений:
$c_{17} = c_1 + (17-1)d \implies c_1 + 16d = 3,4$
$c_{29} = c_1 + (29-1)d \implies c_1 + 28d = -18,2$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(c_1 + 28d) - (c_1 + 16d) = -18,2 - 3,4$
$12d = -21,6$
$d = \frac{-21,6}{12} = -1,8$
Подставим значение $d=-1,8$ в первое уравнение ($c_1 + 16d = 3,4$):
$c_1 + 16 \cdot (-1,8) = 3,4$
$c_1 - 28,8 = 3,4$
$c_1 = 3,4 + 28,8 = 32,2$
Ответ: первый член $c_1 = 32,2$, разность $d = -1,8$.