Номер 13.8, страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.8. Является ли арифметической прогрессией последовательность ($a_n$), которая задана формулой:

1) $a_n = 2 - 0,3n;$

2) $a_n = 4 + 2n;$

3) $a_n = \frac{n-5}{8};$

4) $a_n = \frac{4-n}{5};$

5) $a_n = n \cdot (n + 4);$

6) $a_n = n \cdot (n^2 + 5)?$

Чтобы определить, является ли последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами $d = a_{n+1} - a_n$ постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Если разность постоянна, то последовательность является арифметической прогрессией, в противном случае — нет.
Это эквивалентно проверке, можно ли представить формулу $n$-го члена в виде линейной функции от $n$: $a_n = k \cdot n + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа. В этом случае $k$ будет разностью прогрессии $d$.

1) Для последовательности, заданной формулой $a_n = 2 - 0,3n$, найдем $(n+1)$-й член, подставив $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 2 - 0,3(n+1) = 2 - 0,3n - 0,3 = 1,7 - 0,3n$.
Теперь вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (1,7 - 0,3n) - (2 - 0,3n) = 1,7 - 0,3n - 2 + 0,3n = -0,3$.
Разность $d = -0,3$ является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да.

2) Для последовательности $a_n = 4 + 2n$ найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = 4 + 2(n+1) = 4 + 2n + 2 = 6 + 2n$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (6 + 2n) - (4 + 2n) = 6 + 2n - 4 - 2n = 2$.
Разность $d = 2$ является постоянной величиной. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да.

3) Для последовательности $a_n = \frac{n - 5}{8}$ найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = \frac{(n+1) - 5}{8} = \frac{n - 4}{8}$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = \frac{n - 4}{8} - \frac{n - 5}{8} = \frac{(n - 4) - (n - 5)}{8} = \frac{n - 4 - n + 5}{8} = \frac{1}{8}$.
Разность $d = \frac{1}{8}$ является постоянной величиной. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да.

4) Для последовательности $a_n = \frac{4 - n}{5}$ найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = \frac{4 - (n+1)}{5} = \frac{4 - n - 1}{5} = \frac{3 - n}{5}$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = \frac{3 - n}{5} - \frac{4 - n}{5} = \frac{(3 - n) - (4 - n)}{5} = \frac{3 - n - 4 + n}{5} = -\frac{1}{5}$.
Разность $d = -\frac{1}{5}$ является постоянной величиной. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да.

5) Для последовательности $a_n = n \cdot (n + 4)$ преобразуем формулу: $a_n = n^2 + 4n$. Найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = (n+1) \cdot ((n+1) + 4) = (n+1)(n+5) = n^2 + 5n + n + 5 = n^2 + 6n + 5$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (n^2 + 6n + 5) - (n^2 + 4n) = n^2 + 6n + 5 - n^2 - 4n = 2n + 5$.
Разность $d = 2n + 5$ зависит от $n$, поэтому она не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет.

6) Для последовательности $a_n = n \cdot (n^2 + 5)$ преобразуем формулу: $a_n = n^3 + 5n$. Найдем $(n+1)$-й член:
$a_{n+1} = (n+1) \cdot ((n+1)^2 + 5) = (n+1)(n^2 + 2n + 1 + 5) = (n+1)(n^2 + 2n + 6)$.
$a_{n+1} = n^3 + 2n^2 + 6n + n^2 + 2n + 6 = n^3 + 3n^2 + 8n + 6$.
Вычислим разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (n^3 + 3n^2 + 8n + 6) - (n^3 + 5n) = n^3 + 3n^2 + 8n + 6 - n^3 - 5n = 3n^2 + 3n + 6$.
Разность $d = 3n^2 + 3n + 6$ зависит от $n$, поэтому она не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: Нет.