Номер 13.14, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.14. Известны два члена арифметической прогрессии $(a_n)$ $a_7 = -1,6$ и $a_{13} = 4,8$. Найдите для этой прогрессии:

1) первый член и разность;

2) число отрицательных членов;

3) первый положительный член прогрессии.

1) первый член и разность;

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. По условию задачи известны $a_7 = -1,6$ и $a_{13} = 4,8$.
Составим систему уравнений на основе этих данных:
$ \begin{cases} a_1 + (7-1)d = -1,6 \\ a_1 + (13-1)d = 4,8 \end{cases} \implies \begin{cases} a_1 + 6d = -1,6 \\ a_1 + 12d = 4,8 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:
$(a_1 + 12d) - (a_1 + 6d) = 4,8 - (-1,6)$
$6d = 6,4$
$d = \frac{6,4}{6} = \frac{64}{60} = \frac{16}{15}$.
Теперь найдем первый член $a_1$, подставив найденное значение $d$ в первое уравнение системы:
$a_1 + 6 \cdot \frac{16}{15} = -1,6$
$a_1 + \frac{96}{15} = -1,6$
$a_1 + \frac{32}{5} = -1,6$
$a_1 + 6,4 = -1,6$
$a_1 = -1,6 - 6,4 = -8$.
Ответ: первый член $a_1 = -8$, разность $d = \frac{16}{15}$.

2) число отрицательных членов;

Чтобы найти число отрицательных членов прогрессии, необходимо определить, для каких натуральных номеров $n$ выполняется неравенство $a_n < 0$.
Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ и найденные значения $a_1 = -8$ и $d = \frac{16}{15}$, составим и решим неравенство:
$-8 + (n-1) \cdot \frac{16}{15} < 0$
$(n-1) \cdot \frac{16}{15} < 8$
$n-1 < 8 \cdot \frac{15}{16}$
$n-1 < \frac{15}{2}$
$n-1 < 7,5$
$n < 8,5$.
Поскольку $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Натуральные числа, удовлетворяющие неравенству $n < 8,5$, это $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
Таким образом, в прогрессии 8 отрицательных членов.
Ответ: 8.

3) первый положительный член прогрессии.

Из решения в пункте 2 мы установили, что члены прогрессии отрицательны при $n < 8,5$. Это означает, что члены $a_1, a_2, \dots, a_8$ отрицательны. Следовательно, первым положительным членом будет следующий за ними, то есть $a_9$.
Вычислим его значение:
$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$
$a_9 = -8 + 8 \cdot \frac{16}{15} = -8 + \frac{128}{15}$
$a_9 = -\frac{120}{15} + \frac{128}{15} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$.