Номер 13.11, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.11 1) Является ли число 95 членом арифметической прогрессии $15; 19; 23; \dots$? Если да, то укажите номер этого члена.

2) Является ли число 2011 членом арифметической прогрессии $33; 42; 51; \dots$? Если да, то укажите номер этого члена.

3) Является ли число 2035 членом арифметической прогрессии $-13; 19; 51; \dots$? Если да, то укажите номер этого члена.

1) Чтобы определить, является ли число 95 членом арифметической прогрессии 15; 19; 23; ..., нужно сначала найти ее основные параметры и проверить, существует ли натуральный номер $n$ для этого члена.

Первый член прогрессии $a_1 = 15$.
Разность прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членами:
$d = a_2 - a_1 = 19 - 15 = 4$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Мы хотим выяснить, существует ли такое натуральное число $n$, что $a_n = 95$. Подставим известные значения в формулу:
$95 = 15 + (n-1) \cdot 4$
Теперь решим это уравнение относительно $n$:
$95 - 15 = (n-1) \cdot 4$
$80 = (n-1) \cdot 4$
$n-1 = \frac{80}{4}$
$n-1 = 20$
$n = 21$
Так как $n=21$ является натуральным числом, то число 95 является 21-м членом данной прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 21.

2) Проверим, является ли число 2011 членом арифметической прогрессии 33; 42; 51; ...

Первый член прогрессии $a_1 = 33$.
Разность прогрессии $d$ равна:
$d = a_2 - a_1 = 42 - 33 = 9$.

Подставим известные значения в формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n = 2011$:
$2011 = 33 + (n-1) \cdot 9$
Решим уравнение относительно $n$:
$2011 - 33 = (n-1) \cdot 9$
$1978 = (n-1) \cdot 9$
$n-1 = \frac{1978}{9}$
Проверим, делится ли 1978 на 9 нацело. Сумма цифр числа 1978 равна $1 + 9 + 7 + 8 = 25$. Так как 25 не делится на 9, то и 1978 не делится на 9 без остатка.
$n-1 = 219\frac{7}{9}$
$n = 220\frac{7}{9}$
Поскольку номер члена $n$ должен быть натуральным числом, а мы получили дробное число, 2011 не является членом данной прогрессии.
Ответ: Нет, не является.

3) Проверим, является ли число 2035 членом арифметической прогрессии –13; 19; 51; ...

Первый член прогрессии $a_1 = -13$.
Разность прогрессии $d$ равна:
$d = a_2 - a_1 = 19 - (-13) = 19 + 13 = 32$.

Подставим известные значения в формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n = 2035$:
$2035 = -13 + (n-1) \cdot 32$
Решим уравнение относительно $n$:
$2035 + 13 = (n-1) \cdot 32$
$2048 = (n-1) \cdot 32$
$n-1 = \frac{2048}{32}$
$n-1 = 64$
$n = 65$
Так как $n=65$ является натуральным числом, то число 2035 является 65-м членом данной прогрессии.
Ответ: Да, является. Номер этого члена равен 65.