Номер 13.15, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.15. Известны два члена арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_5 = -2,4$ и $a_{11} = 6,8$. Найдите для этой прогрессии:

1) первый член и разность;

2) число отрицательных членов;

3) первый положительный член прогрессии.

1) первый член и разность;

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член, а $d$ - разность прогрессии.

По условию задачи известны два члена прогрессии: $a_5 = -2,4$ и $a_{11} = 6,8$.

Составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} a_1 + (5-1)d = -2,4 \\ a_1 + (11-1)d = 6,8 \end{cases}$

$\begin{cases} a_1 + 4d = -2,4 \\ a_1 + 10d = 6,8 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность $d$:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 4d) = 6,8 - (-2,4)$

$6d = 9,2$

$d = \frac{9,2}{6} = \frac{92}{60} = \frac{23}{15}$

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 4 \cdot \frac{23}{15} = -2,4$

$a_1 = -2,4 - \frac{92}{15} = -\frac{24}{10} - \frac{92}{15} = -\frac{12}{5} - \frac{92}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$a_1 = -\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{92}{15} = -\frac{36}{15} - \frac{92}{15} = -\frac{36 + 92}{15} = -\frac{128}{15}$

Ответ: первый член $a_1 = -\frac{128}{15}$, разность $d = \frac{23}{15}$.

2) число отрицательных членов;

Чтобы найти число отрицательных членов прогрессии, нужно решить неравенство $a_n < 0$.

$a_n = a_1 + (n-1)d < 0$

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$:

$-\frac{128}{15} + (n-1)\frac{23}{15} < 0$

Умножим обе части неравенства на $15$, чтобы избавиться от знаменателя (знак неравенства не меняется, так как $15 > 0$):

$-128 + 23(n-1) < 0$

$-128 + 23n - 23 < 0$

$23n - 151 < 0$

$23n < 151$

$n < \frac{151}{23}$

Выполним деление:

$\frac{151}{23} = 6 \frac{13}{23}$

Итак, $n < 6 \frac{13}{23}$. Поскольку $n$ (номер члена прогрессии) является натуральным числом, отрицательными будут члены с номерами $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Таким образом, в прогрессии 6 отрицательных членов.

Ответ: 6.

3) первый положительный член прогрессии.

Из решения предыдущего пункта следует, что члены прогрессии с $n \le 6$ являются отрицательными. Следовательно, первым положительным членом будет член с номером $n=7$, так как $7$ - это наименьшее натуральное число, большее чем $6 \frac{13}{23}$.

Найдем значение седьмого члена прогрессии $a_7$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$:

$a_7 = -\frac{128}{15} + 6 \cdot \frac{23}{15} = -\frac{128}{15} + \frac{138}{15}$

$a_7 = \frac{138 - 128}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Значение $a_7 = \frac{2}{3}$ является положительным числом.

Ответ: $\frac{2}{3}$.