Номер 13.10, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.10. 1) Второй член арифметической прогрессии равен 3, седьмой — 23. Найдите две тысячи одиннадцатый член арифметической прогрессии.

2) Третий член арифметической прогрессии равен 4, девятый — 22. Найдите две тысячи двадцать первый член арифметической прогрессии.

1) Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — это первый член прогрессии, а $d$ — её разность.
По условию задачи даны второй и седьмой члены прогрессии:
$a_2 = 3$
$a_7 = 23$
Используя формулу, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + (2-1)d \Rightarrow a_1 + d = 3$
$a_7 = a_1 + (7-1)d \Rightarrow a_1 + 6d = 23$
Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(a_1 + 6d) - (a_1 + d) = 23 - 3$
$5d = 20$
$d = 4$
Теперь, зная разность прогрессии, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение:
$a_1 + 4 = 3$
$a_1 = -1$
Теперь мы можем найти любой член прогрессии. Нам нужно найти две тысячи одиннадцатый член, $a_{2011}$:
$a_{2011} = a_1 + (2011-1)d = a_1 + 2010d$
Подставим найденные значения $a_1 = -1$ и $d = 4$:
$a_{2011} = -1 + 2010 \cdot 4 = -1 + 8040 = 8039$
Ответ: 8039

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию даны третий и девятый члены прогрессии:
$a_3 = 4$
$a_9 = 22$
Составим систему уравнений:
$a_3 = a_1 + (3-1)d \Rightarrow a_1 + 2d = 4$
$a_9 = a_1 + (9-1)d \Rightarrow a_1 + 8d = 22$
Вычтем первое уравнение из второго для нахождения разности $d$:
$(a_1 + 8d) - (a_1 + 2d) = 22 - 4$
$6d = 18$
$d = 3$
Подставим значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти первый член $a_1$:
$a_1 + 2 \cdot 3 = 4$
$a_1 + 6 = 4$
$a_1 = -2$
Теперь найдем две тысячи двадцать первый член прогрессии, $a_{2021}$:
$a_{2021} = a_1 + (2021-1)d = a_1 + 2020d$
Подставим найденные значения $a_1 = -2$ и $d = 3$:
$a_{2021} = -2 + 2020 \cdot 3 = -2 + 6060 = 6058$
Ответ: 6058