Номер 13.9, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 13. Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена арифметической прогрессии. Глава III. Последовательности. Часть 1 - номер 13.9, страница 119.

Условие рус.

13.9. 1) В арифметической прогрессии второй член равен 3,6, пятый — 9,6. Найдите номера членов прогрессии, принадлежащих числовому промежутку [15; 25].

2) В арифметической прогрессии третий член равен 2,4, шестой — 3,9. Найдите номера членов прогрессии, принадлежащих числовому промежутку [10; 20].

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1)

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия. По условию, второй член прогрессии $a_2 = 3.6$, а пятый член $a_5 = 9.6$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.
Используя эту формулу, составим и решим систему уравнений:
$a_5 - a_2 = (a_1 + (5-1)d) - (a_1 + (2-1)d) = (a_1 + 4d) - (a_1 + d) = 3d$
С другой стороны, $a_5 - a_2 = 9.6 - 3.6 = 6$.
Следовательно, $3d = 6$, откуда находим разность прогрессии $d = 2$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Так как $a_2 = a_1 + d$, то $a_1 = a_2 - d = 3.6 - 2 = 1.6$.
Таким образом, формула для n-го члена данной прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1.6 + (n-1) \cdot 2 = 1.6 + 2n - 2 = 2n - 0.4$
Нам нужно найти номера $n$ таких членов прогрессии, которые принадлежат числовому промежутку $[15; 25]$. Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:
$15 \le a_n \le 25$
Подставим формулу для $a_n$:
$15 \le 2n - 0.4 \le 25$
Прибавим 0.4 ко всем частям неравенства:
$15 + 0.4 \le 2n \le 25 + 0.4$
$15.4 \le 2n \le 25.4$
Разделим все части неравенства на 2:
$7.7 \le n \le 12.7$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, то этому условию удовлетворяют следующие значения $n$: 8, 9, 10, 11, 12.
Ответ: 8, 9, 10, 11, 12.

2)

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия. По условию, третий член прогрессии $a_3 = 2.4$, а шестой член $a_6 = 3.9$.
Найдем разность прогрессии $d$.
$a_6 - a_3 = (a_1 + (6-1)d) - (a_1 + (3-1)d) = (a_1 + 5d) - (a_1 + 2d) = 3d$
С другой стороны, $a_6 - a_3 = 3.9 - 2.4 = 1.5$.
Следовательно, $3d = 1.5$, откуда $d = 0.5$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Так как $a_3 = a_1 + 2d$, то $a_1 = a_3 - 2d = 2.4 - 2 \cdot 0.5 = 2.4 - 1 = 1.4$.
Таким образом, формула для n-го члена данной прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d = 1.4 + (n-1) \cdot 0.5 = 1.4 + 0.5n - 0.5 = 0.5n + 0.9$
Нам нужно найти номера $n$ таких членов прогрессии, которые принадлежат числовому промежутку $[10; 20]$. Составим и решим двойное неравенство:
$10 \le a_n \le 20$
Подставим формулу для $a_n$:
$10 \le 0.5n + 0.9 \le 20$
Вычтем 0.9 из всех частей неравенства:
$10 - 0.9 \le 0.5n \le 20 - 0.9$
$9.1 \le 0.5n \le 19.1$
Разделим все части неравенства на 0.5 (что эквивалентно умножению на 2):
$18.2 \le n \le 38.2$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, то этому условию удовлетворяют целые числа от 19 до 38 включительно.
Ответ: 19, 20, 21, ..., 38.