Номер 13.16, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.16. Известны два члена арифметической прогрессии $ (a_n) $ $a_6 = 3,6$ и $a_{12} = -7,8$. Найдите для этой прогрессии:

1) первый член и разность;

2) число положительных членов;

3) первый отрицательный член прогрессии.

1) первый член и разность;

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Нам известны два члена прогрессии:

$a_6 = 3,6$

$a_{12} = -7,8$

Используя формулу n-го члена, составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} a_1 + (6-1)d = 3,6 \\ a_1 + (12-1)d = -7,8 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} a_1 + 5d = 3,6 \\ a_1 + 11d = -7,8 \end{cases}$

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 11d) - (a_1 + 5d) = -7,8 - 3,6$

$6d = -11,4$

$d = \frac{-11,4}{6} = -1,9$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$. Подставим значение $d$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 5(-1,9) = 3,6$

$a_1 - 9,5 = 3,6$

$a_1 = 3,6 + 9,5$

$a_1 = 13,1$

Ответ: первый член $a_1 = 13,1$, разность $d = -1,9$.

2) число положительных членов;

Член арифметической прогрессии является положительным, если выполняется неравенство $a_n > 0$. Подставим в это неравенство формулу n-го члена с найденными значениями $a_1$ и $d$:

$13,1 + (n-1)(-1,9) > 0$

Решим это неравенство относительно $n$:

$13,1 - 1,9n + 1,9 > 0$

$15 - 1,9n > 0$

$15 > 1,9n$

$n < \frac{15}{1,9}$

$n < \frac{150}{19}$

$n < 7\frac{17}{19}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то все члены с номерами от 1 до 7 будут положительными. Максимальное целое значение $n$, удовлетворяющее неравенству, это 7.

Таким образом, в прогрессии 7 положительных членов.

Ответ: 7.

3) первый отрицательный член прогрессии.

Из решения предыдущего пункта следует, что $a_7$ — это последний положительный член прогрессии. Следовательно, член с номером $n=8$ будет первым отрицательным членом.

Найдем значение этого члена, используя формулу n-го члена:

$a_8 = a_1 + (8-1)d$

$a_8 = 13,1 + 7(-1,9)$

$a_8 = 13,1 - 13,3$

$a_8 = -0,2$

Первый отрицательный член прогрессии — это $a_8 = -0,2$.

Ответ: -0,2.