Номер 13.22, страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.22. Задана арифметическая прогрессия $(a_n)$, у которой $a_1 = -3$ и $d = 7$. Является ли членом этой прогрессии число:
1) 247;
2) 346;
3) 2067? Если да, то укажите его номер.

Для того чтобы определить, является ли заданное число членом арифметической прогрессии $(a_n)$, нужно проверить, существует ли такой натуральный номер $n$ ($n \in \mathbb{N}$), для которого выполняется формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = -3$ и разность $d = 7$.

Для проверки мы можем выразить $n$ из формулы:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n - a_1 = (n-1)d$

$\frac{a_n - a_1}{d} = n-1$

$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$

Если для заданного числа $a_n$ значение $n$ окажется натуральным числом (целым и положительным), то это число является членом прогрессии с номером $n$. В противном случае — не является.

Подставим известные значения $a_1 = -3$ и $d = 7$ в эту формулу:

$n = \frac{a_n - (-3)}{7} + 1 = \frac{a_n + 3}{7} + 1$

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

1) 247

Подставим $a_n = 247$ в нашу формулу для $n$:

$n = \frac{247 + 3}{7} + 1$

$n = \frac{250}{7} + 1$

Число 250 не делится на 7 без остатка ($250 = 7 \cdot 35 + 5$). Это означает, что $n$ не будет целым числом. Следовательно, число 247 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

2) 346

Подставим $a_n = 346$ в формулу:

$n = \frac{346 + 3}{7} + 1$

$n = \frac{349}{7} + 1$

Число 349 не делится на 7 без остатка ($349 = 7 \cdot 49 + 6$). Это означает, что $n$ не будет целым числом. Следовательно, число 346 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.

3) 2067

Подставим $a_n = 2067$ в формулу:

$n = \frac{2067 + 3}{7} + 1$

$n = \frac{2070}{7} + 1$

Число 2070 не делится на 7 без остатка ($2070 = 7 \cdot 295 + 5$). Это означает, что $n$ не будет целым числом. Следовательно, число 2067 не является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет.