Номер 13.29, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.29. При каких значениях переменной $a$ значения выражений $a^2 - 3$, $2a^2 + 1$ и $a^4 + 1$, взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии?

Пусть данные выражения $a^2 - 3$, $2a^2 + 1$ и $a^4 + 1$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим их как $x_1$, $x_2$ и $x_3$ соответственно.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов. Для трех последовательных членов это свойство можно записать в виде формулы:
$x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2}$
Или, в более удобной форме:
$2x_2 = x_1 + x_3$

Подставим в эту формулу данные нам выражения:
$2(2a^2 + 1) = (a^2 - 3) + (a^4 + 1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $a$. Сначала раскроем скобки и упростим выражение:
$4a^2 + 2 = a^4 + a^2 - 2$

Перенесем все члены уравнения в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$0 = a^4 + a^2 - 4a^2 - 2 - 2$
$a^4 - 3a^2 - 4 = 0$

Получилось биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = a^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $y \ge 0$. После замены уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:
$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
$\sqrt{D} = 5$

Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 0$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $a^2$ не может быть отрицательным числом в поле действительных чисел. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $y = 4$:
$a^2 = 4$
Отсюда получаем два возможных значения для $a$:
$a_1 = 2$
$a_2 = -2$

Проверим найденные значения.
При $a = 2$ или $a = -2$ (так как $a$ входит в выражения только в четных степенях), получаем:
$x_1 = a^2 - 3 = (2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
$x_2 = 2a^2 + 1 = 2(2)^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$
$x_3 = a^4 + 1 = (2)^4 + 1 = 16 + 1 = 17$
Получаем последовательность 1, 9, 17. Разность прогрессии $d = 9 - 1 = 8$ и $17 - 9 = 8$. Это действительно арифметическая прогрессия.

Ответ: $a = 2$ или $a = -2$.