Номер 13.32, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.32. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 3x - 4} + \sqrt{4 - x}$;

2) $y = \sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{9 - x^2}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 3x - 4} + \sqrt{4 - x}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 4 \ge 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни. То есть, $x \in (-\infty, -1] \cup [4, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $4 - x \ge 0$.

$4 \ge x$, что эквивалентно $x \le 4$. Решением является промежуток $x \in (-\infty, 4]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств, так как они должны выполняться одновременно:

$((-\infty, -1] \cup [4, +\infty)) \cap (-\infty, 4]$.

Пересечение множества $(-\infty, -1]$ с $(-\infty, 4]$ дает $(-\infty, -1]$.

Пересечение множества $[4, +\infty)$ с $(-\infty, 4]$ дает точку $\{4\}$.

Объединяя эти результаты, получаем область определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup \{4\}$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{9 - x^2}$ также определяется системой неравенств, где подкоренные выражения неотрицательны:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 4 \ge 0 \\ 9 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x - 4 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Парабола $f(x) = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $9 - x^2 \ge 0$.

Это неравенство можно переписать как $x^2 \le 9$, что равносильно $|x| \le 3$, или $-3 \le x \le 3$. Решением является отрезок $x \in [-3, 3]$.

Теперь найдем пересечение решений:

$((-\infty, -4] \cup [1, +\infty)) \cap [-3, 3]$.

Пересечение $(-\infty, -4]$ с $[-3, 3]$ является пустым множеством.

Пересечение $[1, +\infty)$ с $[-3, 3]$ является отрезком $[1, 3]$.

Следовательно, область определения исходной функции есть отрезок $[1, 3]$.

Ответ: $x \in [1, 3]$.