Номер 13.26, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*13.26. Конечные арифметические прогрессии $4; 12; \dots$ и $5; 12; \dots$ имеют по 200 членов. Найдите число одинаковых членов этих прогрессий.

Обозначим первую арифметическую прогрессию как $(a_n)$ и вторую как $(b_m)$.

Для первой прогрессии $(a_n)$ с членами $4; 12; \dots$:Первый член $a_1 = 4$.Разность прогрессии $d_a = 12 - 4 = 8$.Формула n-го члена имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d_a = 4 + (n-1)8 = 4 + 8n - 8 = 8n - 4$.Поскольку прогрессия конечна и содержит 200 членов, то номер члена $n$ изменяется в пределах $1 \le n \le 200$.

Для второй прогрессии $(b_m)$ с членами $5; 12; \dots$:Первый член $b_1 = 5$.Разность прогрессии $d_b = 12 - 5 = 7$.Формула m-го члена имеет вид: $b_m = b_1 + (m-1)d_b = 5 + (m-1)7 = 5 + 7m - 7 = 7m - 2$.Поскольку прогрессия конечна и содержит 200 членов, то номер члена $m$ изменяется в пределах $1 \le m \le 200$.

Чтобы найти одинаковые (общие) члены этих прогрессий, необходимо решить уравнение $a_n = b_m$:$8n - 4 = 7m - 2$$8n - 7m = 2$

Это линейное диофантово уравнение относительно целых чисел $n$ и $m$.Из условия задачи видно, что $12$ является общим членом. Проверим, каким номерам он соответствует:Для первой прогрессии: $a_n=12 \implies 8n-4=12 \implies 8n=16 \implies n=2$.Для второй прогрессии: $b_m=12 \implies 7m-2=12 \implies 7m=14 \implies m=2$.Таким образом, пара $(n, m) = (2, 2)$ является частным решением диофантова уравнения.

Найдем общее решение. Перепишем уравнение как $8(n-2) - 7(m-2) = 0$, или $8(n-2) = 7(m-2)$.Так как числа 7 и 8 являются взаимно простыми, то выражение $(n-2)$ должно быть кратно 7, а $(m-2)$ должно быть кратно 8.Введем целый параметр $k$:$n - 2 = 7k \implies n = 2 + 7k$$m - 2 = 8k \implies m = 2 + 8k$

Теперь найдем все возможные значения $k$, при которых номера членов $n$ и $m$ находятся в заданных границах:1) $1 \le n \le 200 \implies 1 \le 2 + 7k \le 200$$-1 \le 7k \le 198$$-\frac{1}{7} \le k \le \frac{198}{7}$$-0.14... \le k \le 28.28...$

2) $1 \le m \le 200 \implies 1 \le 2 + 8k \le 200$$-1 \le 8k \le 198$$-\frac{1}{8} \le k \le \frac{198}{8}$$-0.125 \le k \le 24.75$

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, параметр $k$ должен удовлетворять обоим неравенствам. Найдем пересечение полученных диапазонов для $k$.Более строгим нижним ограничением является $k \ge -0.125$.Более строгим верхним ограничением является $k \le 24.75$.Таким образом, $-0.125 \le k \le 24.75$.

Поскольку $k$ должно быть целым числом, возможные значения для $k$ лежат в диапазоне от 0 до 24 включительно.$k \in \{0, 1, 2, \dots, 24\}$

Количество целых значений $k$ в этом диапазоне равно $24 - 0 + 1 = 25$.Каждому такому значению $k$ соответствует одна пара $(n,m)$ и, следовательно, один общий член прогрессий.Таким образом, всего существует 25 одинаковых членов.

Ответ: 25