Номер 13.33, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.33. Решите уравнение:

1) $(x+3)^4 - x^2 - 6x - 11 = 0;$

2) $(x-6)^4 - 2x^2 + 24x - 80 = 0.$

1) Исходное уравнение: $(x + 3)^4 - x^2 - 6x - 11 = 0$.
Преобразуем группу членов $-x^2 - 6x - 11$. Вынесем минус за скобки: $-(x^2 + 6x + 11)$.
Заметим, что выражение в скобках можно связать с полным квадратом, а именно с $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
Представим $x^2 + 6x + 11$ как $(x^2 + 6x + 9) + 2$, что равно $(x+3)^2 + 2$.
Таким образом, $-x^2 - 6x - 11 = -((x+3)^2 + 2) = -(x+3)^2 - 2$.
Подставим это преобразованное выражение обратно в исходное уравнение:
$(x + 3)^4 - ((x+3)^2 + 2) = 0$
$(x + 3)^4 - (x+3)^2 - 2 = 0$.
Получилось биквадратное уравнение относительно $(x+3)^2$. Введем замену переменной: пусть $t = (x+3)^2$. Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
Уравнение в новых переменных будет выглядеть так: $t^2 - t - 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$ и $t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается единственное решение для $t$: $t = 2$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$(x+3)^2 = 2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x+3 = \sqrt{2}$ или $x+3 = -\sqrt{2}$.
Отсюда находим два корня уравнения: $x_1 = -3 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -3 - \sqrt{2}$.
Ответ: $-3 - \sqrt{2}; -3 + \sqrt{2}$.

2) Исходное уравнение: $(x - 6)^4 - 2x^2 + 24x - 80 = 0$.
Рассмотрим члены $-2x^2 + 24x - 80$. Вынесем общий множитель $-2$ за скобки: $-2(x^2 - 12x + 40)$.
Заметим, что выражение в скобках можно связать с полным квадратом $(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36$.
Представим $x^2 - 12x + 40$ как $(x^2 - 12x + 36) + 4$, что равно $(x-6)^2 + 4$.
Подставим это преобразование в исходное уравнение:
$(x - 6)^4 - 2((x-6)^2 + 4) = 0$
$(x - 6)^4 - 2(x-6)^2 - 8 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно $(x-6)^2$. Введем замену переменной: пусть $y = (x-6)^2$. Так как $y$ является квадратом, то $y \ge 0$.
Уравнение примет вид: $y^2 - 2y - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно $-8$, а их сумма равна $2$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.
Корень $y_2 = -2$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.
Остается единственное подходящее решение $y = 4$.
Вернемся к замене:
$(x-6)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:
$x-6 = 2$ или $x-6 = -2$.
Из первого уравнения находим $x_1 = 6 + 2 = 8$.
Из второго уравнения находим $x_2 = 6 - 2 = 4$.
Ответ: 4; 8.