Номер 13.34, страница 122, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.34. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^3 + x^3y^3 = 17 - y^3, \\ x + xy = 5 - y; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + 3xy = 3 - 2y^2, \\ 5x^2 - 2xy = 5 + y^2. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + x^3y^3 = 17 - y^3 \\ x + xy = 5 - y \end{cases}$

Перепишем систему, перенеся все переменные в левую часть:

$\begin{cases} x^3 + y^3 + (xy)^3 = 17 \\ x + y + xy = 5 \end{cases}$

Эта система симметрична относительно $x$ и $y$. Введем новые переменные: пусть $u = x+y$ и $v = xy$.

Используем известную формулу для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = u^3 - 3uv$.

Подставим новые переменные в систему:

$\begin{cases} (u^3 - 3uv) + v^3 = 17 \\ u + v = 5 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$: $u = 5-v$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(5-v)^3 - 3(5-v)v + v^3 = 17$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(125 - 75v + 15v^2 - v^3) - (15v - 3v^2) + v^3 = 17$

$125 - 75v + 15v^2 - v^3 - 15v + 3v^2 + v^3 = 17$

Приведем подобные члены:

$(15v^2 + 3v^2) + (-75v - 15v) + 125 = 17$

$18v^2 - 90v + 125 = 17$

$18v^2 - 90v + 108 = 0$

Разделим обе части уравнения на 18:

$v^2 - 5v + 6 = 0$

Это квадратное уравнение, которое легко решается. По теореме Виета, его корни $v_1 = 2$ и $v_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого корня $v$:

Случай 1: $v = 2$.

Тогда $u = 5 - v = 5 - 2 = 3$.

Случай 2: $v = 3$.

Тогда $u = 5 - v = 5 - 3 = 2$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Мы получили две системы уравнений:

Система A: $\begin{cases} x+y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Следовательно, решениями являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Система B: $\begin{cases} x+y = 2 \\ xy = 3 \end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 2t + 3 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходной системы являются только пары, полученные из системы А.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy = 3 - 2y^2 \\ 5x^2 - 2xy = 5 + y^2 \end{cases}$

Перепишем систему, сгруппировав однородные части в левой стороне:

$\begin{cases} x^2 + 3xy + 2y^2 = 3 \\ 5x^2 - 2xy - y^2 = 5 \end{cases}$

Это система с однородными левыми частями. Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 5, а второе на 3:

$\begin{cases} 5(x^2 + 3xy + 2y^2) = 5 \cdot 3 \\ 3(5x^2 - 2xy - y^2) = 3 \cdot 5 \end{cases} \implies \begin{cases} 5x^2 + 15xy + 10y^2 = 15 \\ 15x^2 - 6xy - 3y^2 = 15 \end{cases}$

Вычтем из первого уравнения второе:

$(5x^2 + 15xy + 10y^2) - (15x^2 - 6xy - 3y^2) = 15 - 15$

$-10x^2 + 21xy + 13y^2 = 0$

Заметим, что $y \neq 0$, так как если $y=0$, то из полученного уравнения следует $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением исходной системы (например, $0^2+3 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \neq 3$). Поэтому мы можем разделить уравнение на $y^2$:

$-10(\frac{x}{y})^2 + 21(\frac{x}{y}) + 13 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$-10t^2 + 21t + 13 = 0 \implies 10t^2 - 21t - 13 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-13) = 441 + 520 = 961 = 31^2$.

$t_1 = \frac{21 + 31}{20} = \frac{52}{20} = \frac{13}{5}$

$t_2 = \frac{21 - 31}{20} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = \frac{13}{5}$, откуда $x = \frac{13}{5}y$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы $x^2 + 3xy + 2y^2 = 3$:

$(\frac{13}{5}y)^2 + 3(\frac{13}{5}y)y + 2y^2 = 3$

$\frac{169}{25}y^2 + \frac{39}{5}y^2 + 2y^2 = 3$

$\frac{169 + 195 + 50}{25}y^2 = 3 \implies \frac{414}{25}y^2 = 3 \implies y^2 = \frac{3 \cdot 25}{414} = \frac{25}{138}$

Отсюда $y = \pm \sqrt{\frac{25}{138}} = \pm \frac{5}{\sqrt{138}}$.

Если $y = \frac{5}{\sqrt{138}}$, то $x = \frac{13}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{138}} = \frac{13}{\sqrt{138}}$.

Если $y = -\frac{5}{\sqrt{138}}$, то $x = \frac{13}{5} \cdot (-\frac{5}{\sqrt{138}}) = -\frac{13}{\sqrt{138}}$.

Получаем две пары решений: $(\frac{13}{\sqrt{138}}, \frac{5}{\sqrt{138}})$ и $(-\frac{13}{\sqrt{138}}, -\frac{5}{\sqrt{138}})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $x = -\frac{1}{2}y$.

Подставим это выражение в первое уравнение $x^2 + 3xy + 2y^2 = 3$:

$(-\frac{1}{2}y)^2 + 3(-\frac{1}{2}y)y + 2y^2 = 3$

$\frac{1}{4}y^2 - \frac{3}{2}y^2 + 2y^2 = 3$

$\frac{1 - 6 + 8}{4}y^2 = 3 \implies \frac{3}{4}y^2 = 3 \implies y^2 = 4$

Отсюда $y = \pm 2$.

Если $y=2$, то $x = -\frac{1}{2}(2) = -1$.

Если $y=-2$, то $x = -\frac{1}{2}(-2) = 1$.

Получаем еще две пары решений: $(-1, 2)$ и $(1, -2)$.

Ответ: $(-1, 2), (1, -2), (\frac{13}{\sqrt{138}}, \frac{5}{\sqrt{138}}), (-\frac{13}{\sqrt{138}}, -\frac{5}{\sqrt{138}})$.