Вопросы, страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Запишите формулу для нахождения значения суммы $k(k+1)$ членов арифметической прогрессии.

2. Как можно вычислить значение суммы последовательных $n$ членов арифметической прогрессии, начиная с члена $k$, не используя формулу из примера 2?

1. Сумма первых $N$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$ вычисляется по стандартной формуле:

$S_N = \frac{2a_1 + d(N-1)}{2} \cdot N$

В данном вопросе требуется записать формулу для суммы $k(k+1)$ членов. Это означает, что количество членов $N$ в формуле нужно заменить на $k(k+1)$.

Подставив $N = k(k+1)$ в общую формулу суммы, получим искомую формулу:

$S_{k(k+1)} = \frac{2a_1 + d(k(k+1) - 1)}{2} \cdot k(k+1)$

Это и есть формула для нахождения значения суммы $k(k+1)$ членов арифметической прогрессии.

Ответ: $S_{k(k+1)} = \frac{2a_1 + d(k(k+1) - 1)}{2} \cdot k(k+1)$

2. Искомая сумма $S$ представляет собой сумму $n$ членов арифметической прогрессии, начиная с $k$-го члена: $S = a_k + a_{k+1} + \dots + a_{k+n-1}$.

Вычислить эту сумму, не используя специальную формулу для такого случая (предположительно, это "формула из примера 2"), можно методом вычитания. Этот метод состоит из следующих шагов:

Шаг 1. Вычисляется сумма всех членов прогрессии от первого до последнего члена в нашей последовательности, то есть до члена с номером $k+n-1$. Обозначим эту сумму $S_{k+n-1}$. Она включает в себя все члены от $a_1$ до $a_{k+n-1}$.

$S_{k+n-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1} + a_k + \dots + a_{k+n-1}$

Шаг 2. Вычисляется сумма всех членов, которые не входят в искомую сумму, но входят в сумму $S_{k+n-1}$. Это члены с первого по $(k-1)$-й. Обозначим эту сумму $S_{k-1}$.

$S_{k-1} = a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1}$

Шаг 3. Искомая сумма $S$ получается путем вычитания второй суммы из первой:

$S = S_{k+n-1} - S_{k-1} = (a_1 + \dots + a_{k+n-1}) - (a_1 + \dots + a_{k-1}) = a_k + \dots + a_{k+n-1}$

Обе суммы, $S_{k+n-1}$ и $S_{k-1}$, вычисляются по стандартной формуле суммы первых членов арифметической прогрессии. Таким образом, мы находим требуемое значение, не прибегая к какой-либо другой специальной формуле.

Ответ: Искомую сумму можно вычислить как разность суммы первых $k+n-1$ членов и суммы первых $k-1$ членов арифметической прогрессии: $S = S_{k+n-1} - S_{k-1}$.