Номер 14.6, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.6. Найдите 20-й член и значение суммы 20 первых членов арифметической прогрессии:

1) 1,3; 2,1; ...;

2) $3\frac{1}{3}$; $3\frac{7}{12}$; ...;

3) -2,87; -2,77; ...;

4) -3,43; -3,49; ...

1) 1,3; 2,1; ...;

Для решения задачи воспользуемся формулами для n-го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данной прогрессии первый член $a_1 = 1,3$, а второй член $a_2 = 2,1$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 2,1 - 1,3 = 0,8$.

Теперь найдем 20-й член прогрессии ($a_{20}$), подставив $n=20$ в формулу:

$a_{20} = a_1 + (20-1)d = 1,3 + 19 \cdot 0,8 = 1,3 + 15,2 = 16,5$.

Далее найдем сумму первых 20 членов прогрессии ($S_{20}$):

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{1,3 + 16,5}{2} \cdot 20 = \frac{17,8}{2} \cdot 20 = 17,8 \cdot 10 = 178$.

Ответ: $a_{20} = 16,5$; $S_{20} = 178$.

2) $3\frac{1}{3}; 3\frac{7}{12}; ...;$

В данной прогрессии первый член $a_1 = 3\frac{1}{3}$ и второй член $a_2 = 3\frac{7}{12}$.

Переведем смешанные дроби в неправильные для удобства вычислений:

$a_1 = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$a_2 = 3\frac{7}{12} = \frac{3 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{36+7}{12} = \frac{43}{12}$

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = \frac{43}{12} - \frac{10}{3} = \frac{43}{12} - \frac{10 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{43}{12} - \frac{40}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем 20-й член прогрессии ($a_{20}$):

$a_{20} = a_1 + 19d = \frac{10}{3} + 19 \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{3} + \frac{19}{4} = \frac{40+57}{12} = \frac{97}{12} = 8\frac{1}{12}$.

Далее найдем сумму первых 20 членов прогрессии ($S_{20}$):

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = (\frac{10}{3} + \frac{97}{12}) \cdot 10 = (\frac{40}{12} + \frac{97}{12}) \cdot 10 = \frac{137}{12} \cdot 10 = \frac{1370}{12} = \frac{685}{6} = 114\frac{1}{6}$.

Ответ: $a_{20} = 8\frac{1}{12}$; $S_{20} = 114\frac{1}{6}$.

3) -2,87; -2,77; ...;

В данной прогрессии первый член $a_1 = -2,87$, а второй член $a_2 = -2,77$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -2,77 - (-2,87) = -2,77 + 2,87 = 0,1$.

Теперь найдем 20-й член прогрессии ($a_{20}$):

$a_{20} = a_1 + 19d = -2,87 + 19 \cdot 0,1 = -2,87 + 1,9 = -0,97$.

Далее найдем сумму первых 20 членов прогрессии ($S_{20}$):

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = (-2,87 + (-0,97)) \cdot 10 = -3,84 \cdot 10 = -38,4$.

Ответ: $a_{20} = -0,97$; $S_{20} = -38,4$.

4) -3,43; -3,49; ...

В данной прогрессии первый член $a_1 = -3,43$, а второй член $a_2 = -3,49$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -3,49 - (-3,43) = -3,49 + 3,43 = -0,06$.

Теперь найдем 20-й член прогрессии ($a_{20}$):

$a_{20} = a_1 + 19d = -3,43 + 19 \cdot (-0,06) = -3,43 - 1,14 = -4,57$.

Далее найдем сумму первых 20 членов прогрессии ($S_{20}$):

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = (-3,43 + (-4,57)) \cdot 10 = -8 \cdot 10 = -80$.

Ответ: $a_{20} = -4,57$; $S_{20} = -80$.