Номер 14.10, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 14. Формула для вычисления значения суммы первых n членов арифметической прогрессии. Глава III. Последовательности. Часть 1 - номер 14.10, страница 127.

Условие рус.

14.10.1) Второй член арифметической прогрессии в 3 раза больше девятого ее члена. Найдите значение суммы первых 24 членов этой прогрессии.

2) Третий член арифметической прогрессии в 4 раза больше двенадцатого ее члена. Найдите значение суммы первых 29 членов этой прогрессии.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1)Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Согласно условию задачи, второй член прогрессии в 3 раза больше девятого:
$a_2 = 3 \cdot a_9$
Выразим второй и девятый члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$
$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$
Подставим эти выражения в исходное равенство:
$a_1 + d = 3(a_1 + 8d)$
Раскроем скобки и найдем соотношение между $a_1$ и $d$:
$a_1 + d = 3a_1 + 24d$
$a_1 - 3a_1 = 24d - d$
$-2a_1 = 23d$
$2a_1 = -23d$
Теперь необходимо найти сумму первых 24 членов этой прогрессии ($S_{24}$). Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим $n = 24$:
$S_{24} = \frac{2a_1 + (24-1)d}{2} \cdot 24 = \frac{2a_1 + 23d}{2} \cdot 24 = (2a_1 + 23d) \cdot 12$
Теперь подставим в эту формулу найденное ранее соотношение $2a_1 = -23d$:
$S_{24} = (-23d + 23d) \cdot 12 = 0 \cdot 12 = 0$
Ответ: 0

2)Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
По условию, третий член прогрессии в 4 раза больше двенадцатого:
$a_3 = 4 \cdot a_{12}$
Выразим $a_3$ и $a_{12}$ через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
Подставим полученные выражения в условие задачи:
$a_1 + 2d = 4(a_1 + 11d)$
Решим это уравнение относительно $a_1$ и $d$:
$a_1 + 2d = 4a_1 + 44d$
$2d - 44d = 4a_1 - a_1$
$-42d = 3a_1$
$a_1 = -14d$
Найдем сумму первых 29 членов прогрессии ($S_{29}$). Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Подставим $n = 29$:
$S_{29} = \frac{2a_1 + (29-1)d}{2} \cdot 29 = \frac{2a_1 + 28d}{2} \cdot 29$
Из соотношения $a_1 = -14d$ следует, что $2a_1 = 2 \cdot (-14d) = -28d$. Подставим это значение в формулу суммы:
$S_{29} = \frac{-28d + 28d}{2} \cdot 29 = \frac{0}{2} \cdot 29 = 0$
Ответ: 0