Номер 14.9, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.9. Найдите значение суммы:

1) $2 + 4 + 6 + ... + 2n$, слагаемыми которой являются все четные натуральные числа от 2 до $2n$, включая $2n$;

2) $1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$, слагаемыми которой являются все нечетные натуральные числа от 1 до $2n - 1$, включая $2n - 1$;

3) $3 + 6 + 9 + ... + 3n$, слагаемыми которой являются все натуральные числа, кратные 3, от 3 до $3n$, включая $3n$;

4) $5 + 10 + 15 + ... + 5n$, слагаемыми которой являются все натуральные числа, кратные 5, от 5 до $5n$, включая $5n$.

1) Данная сумма $S = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$ является суммой членов арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 2$, разность $d = 2$. Последний член, который мы обозначим как $a_k$, равен $2n$. Найдем количество членов $k$ в этой прогрессии, используя формулу для $k$-го члена: $a_k = a_1 + (k-1)d$. Подставив наши значения, получим: $2n = 2 + (k-1)2$. Упрощая это уравнение, имеем $2n - 2 = 2(k-1)$, или $n-1 = k-1$, откуда следует, что $k=n$. Таким образом, в сумме содержится $n$ слагаемых. Для нахождения значения суммы воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. В нашем случае, последний член $a_n = 2n$, поэтому $S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1+n)}{2} \cdot n = n(n+1)$.
Ответ: $n(n+1)$.

2) Сумма $S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Первый член $a_1 = 1$, разность $d = 2$, а последний член $a_k = 2n-1$. Найдем количество членов $k$ по формуле общего члена $a_k = a_1 + (k-1)d$. Подставляем известные значения: $2n-1 = 1 + (k-1)2$. Упрощаем: $2n-2 = 2(k-1)$, или $n-1 = k-1$, откуда $k=n$. Значит, в сумме $n$ слагаемых. Сумма вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставив наши значения ($a_n = 2n-1$), получаем: $S_n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.
Ответ: $n^2$.

3) Сумма $S = 3 + 6 + 9 + ... + 3n$ является суммой членов арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 3$. Последний член $a_k = 3n$. Найдем количество членов $k$. Используем формулу $a_k = a_1 + (k-1)d$: $3n = 3 + (k-1)3$. Отсюда $3n-3 = 3(k-1)$, или $n-1 = k-1$, что дает $k=n$. В сумме $n$ слагаемых. Формула суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем ($a_n = 3n$): $S_n = \frac{3 + 3n}{2} \cdot n = \frac{3(1+n)}{2} \cdot n = \frac{3n(n+1)}{2}$.
Ответ: $\frac{3n(n+1)}{2}$.

4) Сумма $S = 5 + 10 + 15 + ... + 5n$ является суммой членов арифметической прогрессии. Первый член $a_1 = 5$, разность $d = 5$, последний член $a_k = 5n$. Найдем количество членов $k$ по формуле $a_k = a_1 + (k-1)d$: $5n = 5 + (k-1)5$. Упрощаем: $5n-5 = 5(k-1)$, или $n-1 = k-1$, откуда $k=n$. Таким образом, в сумме $n$ слагаемых. Сумму находим по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем значения ($a_n = 5n$): $S_n = \frac{5 + 5n}{2} \cdot n = \frac{5(1+n)}{2} \cdot n = \frac{5n(n+1)}{2}$.
Ответ: $\frac{5n(n+1)}{2}$.