Номер 14.13, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.13. Напишите формулу $n$-го члена и суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$ с положительными членами:

1) $a_2 + a_5 = 41$ и $a_1 + a_3 = 144$;

2) $a_2 + 2a_4 = 27$ и $a_{17} = 50$;

3) $a_2 a_5 = 112$ и $\frac{a_1}{a_5} = 2$;

4) $a_3 a_4 = 28$ и $\frac{a_1}{a_5} = 13$.

1) Дано: $a_2 + a_5 = 41$ и $a_1 \cdot a_3 = 144$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. Выразим $a_2$, $a_3$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим эти выражения в данные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 4d) = 41 \\ a_1(a_1 + 2d) = 144 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} 2a_1 + 5d = 41 \\ a_1^2 + 2a_1d = 144 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $d$: $5d = 41 - 2a_1 \implies d = \frac{41 - 2a_1}{5}$.

Подставим выражение для $d$ во второе уравнение:

$a_1^2 + 2a_1\left(\frac{41 - 2a_1}{5}\right) = 144$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5a_1^2 + 2a_1(41 - 2a_1) = 720$

$5a_1^2 + 82a_1 - 4a_1^2 = 720$

$a_1^2 + 82a_1 - 720 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a_1$. Дискриминант $D = 82^2 - 4(1)(-720) = 6724 + 2880 = 9604 = 98^2$.

$a_1 = \frac{-82 \pm 98}{2}$

Возможные значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{-82+98}{2} = 8$ и $a_{1,2} = \frac{-82-98}{2} = -90$.

По условию, все члены прогрессии положительны, поэтому $a_1 > 0$. Следовательно, выбираем $a_1 = 8$.

Теперь найдем $d$: $d = \frac{41 - 2(8)}{5} = \frac{41-16}{5} = \frac{25}{5} = 5$.

Поскольку $a_1 = 8 > 0$ и $d = 5 > 0$, все члены прогрессии будут положительными.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 8 + (n-1)5 = 8 + 5n - 5 = 5n + 3$.

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}n = \frac{2(8) + (n-1)5}{2}n = \frac{16 + 5n - 5}{2}n = \frac{5n+11}{2}n = \frac{5n^2 + 11n}{2}$.

Ответ: $a_n = 5n + 3$, $S_n = \frac{5n^2 + 11n}{2}$.

2) Дано: $a_2 + 2a_4 = 27$ и $a_{17} = 50$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_{17} = a_1 + 16d$

Подставим в данные уравнения:

$\begin{cases} (a_1 + d) + 2(a_1 + 3d) = 27 \\ a_1 + 16d = 50 \end{cases}$

Упростим первое уравнение:

$a_1 + d + 2a_1 + 6d = 27 \implies 3a_1 + 7d = 27$

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 3a_1 + 7d = 27 \\ a_1 + 16d = 50 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a_1$: $a_1 = 50 - 16d$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(50 - 16d) + 7d = 27$

$150 - 48d + 7d = 27$

$150 - 41d = 27$

$41d = 123 \implies d = 3$

Теперь найдем $a_1$: $a_1 = 50 - 16(3) = 50 - 48 = 2$.

Поскольку $a_1 = 2 > 0$ и $d = 3 > 0$, все члены прогрессии будут положительными.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}n = \frac{2(2) + (n-1)3}{2}n = \frac{4 + 3n - 3}{2}n = \frac{3n+1}{2}n = \frac{3n^2 + n}{2}$.

Ответ: $a_n = 3n - 1$, $S_n = \frac{3n^2 + n}{2}$.

3) Дано: $a_2 \cdot a_5 = 112$ и $\frac{a_1}{a_5} = 2$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$

$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим в данные уравнения:

$\begin{cases} (a_1 + d)(a_1 + 4d) = 112 \\ \frac{a_1}{a_1 + 4d} = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения: $a_1 = 2(a_1 + 4d) \implies a_1 = 2a_1 + 8d \implies -a_1 = 8d \implies a_1 = -8d$.

Подставим $a_1 = -8d$ в первое уравнение:

$(-8d + d)(-8d + 4d) = 112$

$(-7d)(-4d) = 112$

$28d^2 = 112$

$d^2 = 4 \implies d = \pm 2$

Рассмотрим два случая. Если $d=2$, то $a_1 = -8(2) = -16$, что противоречит условию о положительных членах. Если $d=-2$, то $a_1 = -8(-2) = 16$. В этом случае $a_1 > 0$. Прогрессия является убывающей. Проверим, все ли ее члены положительны: $a_n = 16 + (n-1)(-2) = 18 - 2n$. Члены будут положительны только при $18-2n > 0$, то есть при $n < 9$. Так как это единственное решение, где $a_1>0$ и которое удовлетворяет исходным уравнениям, принимаем его.

Итак, $a_1 = 16$ и $d = -2$.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 16 + (n-1)(-2) = 16 - 2n + 2 = 18 - 2n$.

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}n = \frac{2(16) + (n-1)(-2)}{2}n = \frac{32 - 2n + 2}{2}n = \frac{34 - 2n}{2}n = (17 - n)n = 17n - n^2$.

Ответ: $a_n = 18 - 2n$, $S_n = 17n - n^2$.

4) Дано: $a_3 \cdot a_4 = 28$ и $\frac{a_1}{a_5} = 13$.

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим в данные уравнения:

$\begin{cases} (a_1 + 2d)(a_1 + 3d) = 28 \\ \frac{a_1}{a_1 + 4d} = 13 \end{cases}$

Из второго уравнения: $a_1 = 13(a_1 + 4d) \implies a_1 = 13a_1 + 52d \implies -12a_1 = 52d \implies a_1 = -\frac{52}{12}d = -\frac{13}{3}d$.

Подставим $a_1 = -\frac{13}{3}d$ в первое уравнение:

$\left(-\frac{13}{3}d + 2d\right)\left(-\frac{13}{3}d + 3d\right) = 28$

$\left(-\frac{13d+6d}{3}\right)\left(-\frac{13d+9d}{3}\right) = 28$

$\left(-\frac{7d}{3}\right)\left(-\frac{4d}{3}\right) = 28$

$\frac{28d^2}{9} = 28 \implies d^2 = 9 \implies d = \pm 3$

Рассмотрим два случая. Если $d=3$, то $a_1 = -\frac{13}{3}(3) = -13$, что противоречит условию о положительных членах. Если $d=-3$, то $a_1 = -\frac{13}{3}(-3) = 13$. В этом случае $a_1 > 0$. Прогрессия является убывающей. Проверим, все ли ее члены положительны: $a_n = 13 + (n-1)(-3) = 16 - 3n$. Члены будут положительны только при $16-3n > 0$, то есть при $n < 16/3 \approx 5.33$. Так как это единственное решение, где $a_1>0$ и которое удовлетворяет исходным уравнениям, принимаем его.

Итак, $a_1 = 13$ и $d = -3$.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 13 + (n-1)(-3) = 13 - 3n + 3 = 16 - 3n$.

Формула суммы n первых членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}n = \frac{2(13) + (n-1)(-3)}{2}n = \frac{26 - 3n + 3}{2}n = \frac{29 - 3n}{2}n = \frac{29n - 3n^2}{2}$.

Ответ: $a_n = 16 - 3n$, $S_n = \frac{29n - 3n^2}{2}$.