Номер 14.18, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.18. Найдите значение суммы всех трехзначных чисел, кратных:

1) 8;

2) 13.

1) Найдем сумму всех трехзначных чисел, кратных 8.

Все трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 8$.

Найдем первый член этой прогрессии ($a_1$). Это наименьшее трехзначное число, делящееся на 8. Разделим 100 на 8: $100 = 8 \times 12 + 4$. Следовательно, наименьшее трехзначное число, кратное 8, равно $8 \times (12+1) = 104$. Итак, $a_1 = 104$.

Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее трехзначное число, делящееся на 8. Разделим 999 на 8: $999 = 8 \times 124 + 7$. Следовательно, наибольшее трехзначное число, кратное 8, равно $8 \times 124 = 992$. Итак, $a_n = 992$.

Чтобы найти сумму, сначала определим количество членов в прогрессии ($n$) по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$992 = 104 + (n-1) \cdot 8$

$992 - 104 = (n-1) \cdot 8$

$888 = (n-1) \cdot 8$

$n-1 = \frac{888}{8} = 111$

$n = 111 + 1 = 112$

Теперь вычислим сумму $S_n$ всех этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$:

$S_{112} = \frac{104+992}{2} \cdot 112 = \frac{1096}{2} \cdot 112 = 548 \cdot 112 = 61376$.

Ответ: 61376

2) Найдем сумму всех трехзначных чисел, кратных 13.

Эти числа также образуют арифметическую прогрессию, но с разностью $d=13$.

Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Разделим 100 на 13: $100 = 13 \times 7 + 9$. Значит, наименьшее трехзначное число, кратное 13, равно $13 \times (7+1) = 104$. Итак, $a_1 = 104$.

Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Разделим 999 на 13: $999 = 13 \times 76 + 11$. Значит, наибольшее трехзначное число, кратное 13, равно $13 \times 76 = 988$. Итак, $a_n = 988$.

Найдем количество членов прогрессии ($n$):

$988 = 104 + (n-1) \cdot 13$

$988 - 104 = (n-1) \cdot 13$

$884 = (n-1) \cdot 13$

$n-1 = \frac{884}{13} = 68$

$n = 68 + 1 = 69$

Вычислим сумму $S_n$ по формуле:

$S_{69} = \frac{104+988}{2} \cdot 69 = \frac{1092}{2} \cdot 69 = 546 \cdot 69 = 37674$.

Ответ: 37674