Номер 14.21, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.21. В арифметической прогрессии ($a_n$) вычислите значение суммы:

1) $a_7^2 + 2a_7 a_5 + a_5^2 - (a_8 + a_4)^2$;

2) $4a_9^2 - 4a_1 a_9 + a_1^2 - a_{17}^2$.

1) Преобразуем данное выражение $a_7^2 + 2a_7a_5 + a_5^2 - (a_8 + a_4)^2$.
Первые три слагаемых представляют собой формулу полного квадрата суммы: $a_7^2 + 2a_7a_5 + a_5^2 = (a_7 + a_5)^2$.
Таким образом, всё выражение можно переписать в виде: $(a_7 + a_5)^2 - (a_8 + a_4)^2$.
Воспользуемся свойством арифметической прогрессии, которое гласит, что $a_k + a_l = a_m + a_n$, если $k+l = m+n$.
В нашем случае, суммы индексов у членов прогрессии равны: $7+5 = 12$ и $8+4 = 12$.
Следовательно, суммы членов также равны: $a_7 + a_5 = a_8 + a_4$.
Поскольку $a_7 + a_5$ и $a_8 + a_4$ равны, то разность их квадратов равна нулю.
$(a_7 + a_5)^2 - (a_8 + a_4)^2 = 0$.
Ответ: 0

2) Рассмотрим выражение $4a_9^2 - 4a_1a_9 + a_1^2 - a_{17}^2$.
Первые три члена образуют полный квадрат разности: $4a_9^2 - 4a_1a_9 + a_1^2 = (2a_9 - a_1)^2$.
После преобразования выражение принимает вид: $(2a_9 - a_1)^2 - a_{17}^2$.
Используем характеристическое свойство арифметической прогрессии: любой член прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов: $a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$, или $2a_n = a_{n-k} + a_{n+k}$.
Для члена $a_9$ и членов $a_1$ и $a_{17}$ это свойство выполняется, так как $a_9$ находится ровно посередине между ними ($9-1 = 8$ и $17-9=8$). Таким образом, при $n=9$ и $k=8$ мы получаем: $2a_9 = a_{9-8} + a_{9+8} = a_1 + a_{17}$.
Подставим полученное равенство в наше выражение:
$(2a_9 - a_1)^2 - a_{17}^2 = ((a_1 + a_{17}) - a_1)^2 - a_{17}^2 = (a_{17})^2 - a_{17}^2 = a_{17}^2 - a_{17}^2 = 0$.
Ответ: 0