Номер 14.23, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.23. Решите уравнение, если известно, что слагаемые в левой его части составляют арифметическую прогрессию:

1) $2 + 8 + 14 + \dots + x = 184;$

2) $5 + 8 + 11 + \dots + x = 185.$

1) В левой части уравнения дана сумма $n$ членов арифметической прогрессии $2 + 8 + 14 + \dots + x = 184$.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член прогрессии: $a_1 = 2$.

Второй член прогрессии: $a_2 = 8$.

Разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 8 - 2 = 6$.

Последний, n-й член прогрессии: $a_n = x$.

Сумма первых $n$ членов прогрессии: $S_n = 184$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и формулой суммы первых $n$ членов $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения в формулы и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $n$ и $x$:

$x = 2 + (n-1) \cdot 6$

$184 = \frac{2 + x}{2} \cdot n$

Упростим первое уравнение: $x = 2 + 6n - 6 = 6n - 4$.

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$184 = \frac{2 + (6n - 4)}{2} \cdot n$

$184 = \frac{6n - 2}{2} \cdot n$

$184 = (3n - 1)n$

$3n^2 - n - 184 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $n$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-184) = 1 + 2208 = 2209 = 47^2$.

Найдем корни уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 47}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 47}{6}$.

Так как $n$ (количество членов прогрессии) должно быть натуральным числом, выбираем корень со знаком «плюс»:

$n = \frac{1 + 47}{6} = \frac{48}{6} = 8$.

Теперь, зная количество членов $n=8$, найдем $x$, который является восьмым членом прогрессии:

$x = a_8 = 6n - 4 = 6 \cdot 8 - 4 = 48 - 4 = 44$.

Ответ: $x = 44$.

2) В левой части уравнения дана сумма $n$ членов арифметической прогрессии $5 + 8 + 11 + \dots + x = 185$.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член прогрессии: $a_1 = 5$.

Разность прогрессии: $d = 8 - 5 = 3$.

Последний, n-й член прогрессии: $a_n = x$.

Сумма первых $n$ членов прогрессии: $S_n = 185$.

Используем те же формулы: $a_n = a_1 + (n-1)d$ и $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Составим систему уравнений:

$x = 5 + (n-1) \cdot 3$

$185 = \frac{5 + x}{2} \cdot n$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$185 = \frac{5 + (3n + 2)}{2} \cdot n$

$185 = \frac{3n + 7}{2} \cdot n$

Умножим обе части на 2:

$370 = (3n + 7)n$

$3n^2 + 7n - 370 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-370) = 49 + 4440 = 4489 = 67^2$.

Найдем корни:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 67}{2 \cdot 3} = \frac{-7 \pm 67}{6}$.

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, выбираем положительный корень:

$n = \frac{-7 + 67}{6} = \frac{60}{6} = 10$.

Теперь найдем $x$, который является десятым членом прогрессии:

$x = a_{10} = 3n + 2 = 3 \cdot 10 + 2 = 30 + 2 = 32$.

Ответ: $x = 32$.