Номер 14.20, страница 128, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.20. Найдите наибольшее из возможных значений сумм $n$ первых членов арифметической прогрессии, если $a_1 = 137, a_2 = 121$.

Чтобы найти наибольшее из возможных значений суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии, необходимо сначала определить её параметры.

1. Нахождение разности прогрессии

Даны первый и второй члены арифметической прогрессии: $a_1 = 137$ и $a_2 = 121$.Разность арифметической прогрессии $d$ равна разности между любым её членом и предыдущим.$d = a_2 - a_1 = 121 - 137 = -16$.

2. Определение количества членов для максимальной суммы

Поскольку разность прогрессии $d = -16$ отрицательна, прогрессия является убывающей. Сумма её членов будет увеличиваться до тех пор, пока мы складываем положительные члены. Как только члены прогрессии станут отрицательными, их добавление к сумме начнет её уменьшать. Таким образом, для получения наибольшей суммы нужно сложить все неотрицательные члены прогрессии.

Найдем номер $n$ последнего неотрицательного члена прогрессии, решив неравенство $a_n \ge 0$.Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.Подставим наши значения:$137 + (n-1)(-16) \ge 0$$137 - 16n + 16 \ge 0$$153 - 16n \ge 0$$153 \ge 16n$$n \le \frac{153}{16}$$n \le 9.5625$

Так как $n$ должно быть целым числом, наибольшее количество членов, которые являются неотрицательными, равно $9$. Следовательно, наибольшая сумма будет суммой первых $9$ членов прогрессии ($S_9$).

3. Вычисление наибольшей суммы

Для расчета суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии воспользуемся формулой $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.Подставим $n=9$, $a_1=137$ и $d=-16$:$S_9 = \frac{2 \cdot 137 + (9-1)(-16)}{2} \cdot 9$$S_9 = \frac{274 + 8 \cdot (-16)}{2} \cdot 9$$S_9 = \frac{274 - 128}{2} \cdot 9$$S_9 = \frac{146}{2} \cdot 9$$S_9 = 73 \cdot 9$$S_9 = 657$

Ответ: 657.